絶対値を外すときの判別式の利用について

質問

さきほど質問した者ですが、（http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3256644.html）
質問内容にミスがあったので質問しなおします。すみません。

|3x^2 +x +3| = 10
という方程式を解こうとする際、

【判別式D = 1 - 36 = -35 ＜ 0
よって、-(3x^2 +x +3) = 10】

という絶対値の外し方があると友達に教えてもらいました。

これって理にかなった方法ですか？
絶対値の中の方程式を判別式でやって、それが負ならマイナスで外れるんでしょうか？
また、今回は判別式の結果が負となりましたが、判別式が正、０の場合はどうなるんでしょうか？

それと、このテクニックが正しいものだとしたらそうなる理由を教えてもらえないでしょうか。

失礼いたしました。
ずっと考え込んでしまって先に進めないで射ます。
よろしくお願いします。

回答No.7

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

|f(x)| があったときに、

f(x)>0 が常に成立つなら、|f(x)| = f(x)
f(x)<0 が常に成立つなら、|f(x)| = - f(x)

というだけのことですよ。

その友達が言った（言おうとした？）判別式を使う方法は、要するに、

f(x) = 3x^2 + x + 3

という二次式で、

(1) 判別式 D = 1 - 36 < 0 だから解なし、
　　すなわち x軸と交わらない。
(2) x^2 の係数が 3>0 だから、下に凸。

という二つのことから、f(x) が常に x軸よりも上にあることがわかるので、

|3x^2 + x + 3| = 3x^2 + x + 3

にしよう、ということだけです。
（なぜかマイナスが付いているのは間違い。）

> 絶対値の中の方程式を判別式でやって、それが負ならマイナスで外れるんでしょうか？

そんな「法則」はありません。
判別式で言えることは、x軸と交わらない、
すなわち、いつも決まった符合だということだけです。
いつも正かもしれないし、いつも負かもしれません。
そのどちらかは、適当な値を代入してみるとか、
上下どちらに凸かですぐにわかります。

> また、今回は判別式の結果が負となりましたが、判別式が正、０の場合はどうなるんでしょうか？

判別式が正のときには、f(x)がx軸と二点で交わるわけですから、その交点を境にして、正→負→正、の値をとるか、負→正→負、の値をとるかです。領域ごとに絶対値|…|の外れ方がかわります。

f(x)>0 の領域では、|f(x)|=f(x)
f(x)<0 の領域なら、|f(x)|=-f(x)

になります。具体的にどういう領域かは、f(x)=0を解いて、境目になるxの値（二つある）を求め、それを元に考えます。

判別式が0のときには、一点で交わるので、その一点でf(x)=0になる以外は、常に正か、常に負かのどちらかですから、最初に説明したのと同じようなことになります

> ｜ax^2 + bx +c｜ の絶対値を外すときは、まず平方完成してみる。

判別式を見れば、いつも同じ符号ではずすべきか、場合わけすべきかがわかるので、それで十分です。他に必要がなければ平方完成の必要はないです。
つまり、ANo.6へのお礼の(ア)、(イ) だけで良いです。
ただし(ア)のところに、判別式 = 0 も含めておいてください。

もちろん、判別式を調べるかわりに、平方完成してみる方法でも良いですが、それはそれでやればよく、後から判別式とかを考えなくてもできます。問題によって楽そうなほうを選べば良いでしょう。
ANo.6へのお礼には、二つの方法がごっちゃになって書いてありますよ。

あまりマニュアルを覚えて、それをそのま使おうという考えかたではなくて、一つ一つ正しいことを納得しながら問題を解くと良いですよ。