時間的ベクトルの説明で不明な所があります。

質問

座標系Ｋにおける質点の運動が、４次元空間Ｍにおける一つの曲線Ｃを表わし、それを曲線Ｃ上の上の定点からＣに沿って測った弧の長さｓを用いて、
　ｘ_0 = x_0( s ), 　x_1 = x_1( s ), 　x_2 = x_2( s ), 　x_3 = x_3( s ) 　…（1）
と表わす。（1）をsについて微分したもの
　u_0 = dx_0/ds, 　u_1 = dx_1/ds, 　u_2 = dx_2/ds, 　u_3 = dx_3/ds 　…（2）
はローレンツ変換Ｌ　x_j '= Σ {k=0→3} a_jk * x_k 　(j=0,1,2,3) 　…（3）
の両辺を微分して得られる関係
　u_j '= Σ {k=0→3} a_jk * u_k 　(j=0,1,2,3) 　…(4)　からわかるように、
4次元ベクトルの成分である。これを4次元速度ベクトルという。（4）からただちに、
u_0^2-u_1^2-u_2^2-u_3^2 = ( dx_0^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2 )/ds^2 = 1　…(5)
が得られるが、これは4次元速度ベクトルが時間的ベクトルであることを示している。以上は教科書からの抜粋ですが、疑問点は（5）式の右辺がなぜ1になるのかという点です。（5）式は、別の教科書では、
x^2+y^2+z^2-c^2*t^2 = x'^2+y'^2+z'^2-c^2*t'^2 = -s^2 = const となっています。ここでのsは時刻t=0,点(0,0,0)で起こった事象と時刻t,点(x,y,z)で起こった事象との世界間隔である。またs^2を計量と定義する。と有ります。式の表記が分かり辛いかと思いますが、(５)式の疑問点1について出来るだけ詳しくご教授下されば幸いです。物理を独学中です。宜しくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

できるだけ詳しくって、ds^2の定義そのもので、そんなに詳しく説明できないのですが、

(特殊相対論では)2点(x_0,x_1,x_2,x_3),(y_0,y_1,y_2,y_3)の間の世界距離は、
s^2=(x_0-y_0)^2-(x_1-y_1)^2-(x_2-y_2)^2-(x_3-y_3)^2
で定義されます(なお、右辺を-1倍したものを世界距離の定義にする場合もありますが、単なる定義の問題です)ので、

(dx_0,dx_1,dx_2,dx_3)だけ離れた２点間の世界距離はds^2=dx_0^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2となります。
両辺をds^2で割れば、
1=u_0^2-u_1^2-u_2^2-u_3^2
となりますね。

お礼

今晩は。
とんだ愚問をしてしまったようですね。
考える方向を間違っていました。
深夜にもかかわらず、愚鈍な私にも分かるように丁寧にお答え下さりありがとうございました。また同じような愚問をした折にも呆れないでご回答お願いしますね。(^_^)
ありがとうございました。

回答No.1

noname#58790

もう寝ます。＾＾；
( dx_0^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2 )/ds^2 = 1
ds^2( dx_0^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2 )/ds^2 = ds^2
( dx_0^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2 ) = ds^2

x'^2+y'^2+z'^2-c^2*t'^2 = -s^2

似てます。
睡魔に襲われた私には親戚にしか思えません。＾＾；
おやすみなさい。ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

今晩は。
聡明なedw-19様には、とんだ愚問のようでしたね。
とんだ考え違いをしていました。
愚問に深夜までお付き合い下さり恐縮です。
今晩はゆっくりお休みになって下さいね。(^_^)
ありがとうございました。