ベクトル場の面積分

質問

ベクトル場　　A＝2yi+zj
に対し，平面2x+2y+z=4が座標軸と交わる3点からできる三角形Tについての面積分∫_T〖A・dS〗を求める問題で，

法単位ベクトルの求め方はわかるのですが，∫_T〖A・dS〗がどうなるのかがわかりません。どなたかわかる方お教えください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

ベクトルAとTの単位法線ベクトルをそれぞれ A↑、n↑と書けば
z=4-2x-2y
z_x=-2,z_y=-2
dS=√{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy=3dxdy
D={(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦2-x}
A↑=(2y,z,0),n↑=(2/3,2/3,1/3)
より
A↑・n↑dS=(2y,z,0)・(2/3,2/3,1/3) 3dxdy=2(2y+z)dxdy
なので
I=∫_T [A↑・dS↑]=∫_T [A↑・n↑] |dS|
平面T上では　z=4-2x-2y,|dS|=3dxdy　であるから
=∫∫_D 2(2y+(4-2x-2y))dxdy
=∫[x:0→2]dx∫[y:0→2-x] 2(4-2x)dy
=∫[x:0→2] 2(4-2x)(2-x)dx
=4∫[0→2] (2-x)^2 dx
=4[(1/3)(x-2)^3][0→2]
=(4/3)*8
=32/3 ←　(答え)

補足

回答ありがとうございます。面積分についてよくわかっていないようなのでいくつか質問させていただきたいのですが，

・z=の形にするのは平面Dを考えたいからですか。
・>dS=√{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdyとなるのはなぜですか。
・積分の問題だと思いますが，
>=∫∫_D 2(2y+(4-2x-2y))dxdy　が
=∫[x:0→2]dx∫[y:0→2-x] 2(4-2x)dy
というように2(4-2x)がdyのほうの積分に入るのはなぜですか。

すいませんが，回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の補足質問の回答

・z=の形にするのは平面Dを考えたいからですか。
平面2x+2y+z=4上の三角形の領域Tでの積分を
xy座標平面上の領域Dでの積分に変換したいからです。
つまり、
ds=√(1+(z_x)^2+(z_y)^2)dxdyの変換係数√(1+(z_x)^2+(z_y)^2)中の
z_x=∂z/∂x,z_y=∂z/∂yを計算したい為です。

・>dS=√{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdyとなるのはなぜですか。
面積素dSと「dSをxy座標面に正投影した面積素dxdy」との面積比
|r_x×r_y|=√{1+(z_x)^2+(z_y)^2}
が変換係数になります。
r↑は曲面S:2x+2y+z=4上の点(x,y,z)=(x,y,4-2x-2y)の位置ベクトルです。

・積分の問題だと思いますが，
>=∫∫_D 2(2y+(4-2x-2y))dxdy　が
=∫[x:0→2]dx∫[y:0→2-x] 2(4-2x)dy
というように2(4-2x)がdyのほうの積分に入るのはなぜですか。

逐次（累次）積分では、後ろの方の積分の被積分関数の所に全体の被積分関数を書きます。
つまり
∫[x:0→2]dx∫[y:0→2-x] 2(4-2x)dyは
∫[x:0→2] {∫[y:0→2-x] 2(4-2x)dy}dx
の同義（同じ内容）で、別の書き方です。この書き方は、一般的に広く使われている書き方ですから、覚えておいてください。
逐次（累次）積分では、後ろの積分から、順に前の積分をしていきます。
なので、後ろの積分の被積分関数の中や積分の上限や下限に、それより前にある積分の積分変数が入るのが普通です（特別な場合として入らない場合もありますが…）。

参考URLも参考になるかと思いますので、読んで勉強して下さい。
ttp://deepwave.web.fc2.com/ans2.pdf
ttp://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2011-2/vecanal/lecture6.pdf
(直接リンクをはれないので先頭のhが省略してあります)

参考URL：

http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~mori/2006jyugyou/surface_integral.pdf

お礼

詳しく説明していただきありがとうございました！