バンドギャップと導電率の熱活性化エネルギーの関係

質問

絶縁体のバンドギャップE_bが例えば3 eVということは禁止帯の幅が3 eVあるということですよね。絶縁体の導電率のアレニウスプロットで傾きから熱活性化エネルギーE_aを算出しますが、バンドギャップとの間には関係式みたいなものはあるのでしょうか。
例えば温度が1000Kのときは導電率ｓはs_0*exp((E_b - E_a)/(1000*k))ということでしょうか。s_0は絶対零度のときの導電率(?)

回答No.2

shun0914 · ベストアンサー

No.1です。

＞バンドギャップが5 eVでありながら、導電率の活性化エネルギーが1 eVというようなデータを見ることがある

そうですね、式の中の E_b - E_a を深く考えていませんでした。で教科書を見直すと、不純物がドープされている場合はドナー準位やアクセプター準位がバンドギャップの中ほどにできることを思い出しました。図で表すと下の感じです。

E
↑
　　 //////[伝導バンド]/////
E_b -----------------------
　　　活性化エネルギーE_a
　　 -----(ドナー準位)------

0 　 -----------------------
　　 /////[価電子バンド]////

分かりますかねぇ…。

このような場合、E_b＝５eVでE_a＝１eVなどとなりますね。E_bとE_aの大きさの関係は…直接はないでしょうね。どこにドナー準位ができるかはバンドギャップE_bと無関係な気がするからです。

なお、この場合ドナー準位から電子が供給されるので導電率は
σ（T）＝σ（T＝0）×exp[ E_a/k_B T ]
ですね。不純物がドープされていない場合も同じでしょう（E_a＝E_bだから）。

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

回答No.3

d9win

導電率(σ)は、電荷担体の密度(n)と移動度(μ)の両方に比例します。
ρ= q n(T) μ(T)
　J= ρE

したがって、導電率(ρ)の活性化エネルギー(Ea)は、n(T)とμ(T)のEaの和となります。
ρが主にn(T)で決まる場合にし、質問者の想定されている状況は起こりえると思います。
しかしながら、一般的にそう単純化できる例はほとんどなく、μ(T)の温度依存性こそが問題になっているのだと思います。
電気伝導モデルは、電荷担体の動きやすさ(μ)の順に次のものがあります。
(A)自由電子モデル (金属, 半導体)
(B)不純物伝導 (高抵抗半導体)
(C)ホッピング伝導(絶縁体)

(A)の場合はn(T)の比重が高くなると思いますが、それでもn(T)だけでは済まないのだと思います。
一般的な絶縁体では、(C)ホッピング伝導をしていると思います。
もっとも、ダイヤモンドやSiCのように通常は絶縁体に分類できるが、(不純物密度が少なく、しかも結晶性が良いとかの)条件が整えば半導体として振る舞うものもあります。

ちなみに、ある反応の活性化エネルギー(Ea)は、反応前後のエネルギー差よりも大きいのが一般的です。
n(T)は電荷担体(キャリア)の発生反応で決まりますが、この反応前後のエネルギー差がバンドギャップ(Eg)に当たります。
半導体は例外的にEa≒Egとなっていると理解してます。

参考URLは、ホッピング伝導についてのものです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3221800.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa405660.html
http://physi.rc.kyushu-u.ac.jp/qcmpg/ob/hirakawa/insulator.html

参考URL：

http://physi.rc.kyushu-u.ac.jp/qcmpg/ob/hirakawa/insulator.html

お礼

ありがとうございます。移動度のことがあるのですね。納得いたしました。

回答No.1

shun0914

１週間近く経つのに回答がつかないので、よく知りませんが投稿します。回答を書きながら考えますね。

＞絶縁体の導電率のアレニウスプロットで傾きから熱活性化エネルギーE_aを算出しますが、バンドギャップとの間には関係式みたいなものはあるのでしょうか。

「活性化エネルギーとバンドギャップの間には関係はありますか？」という質問なら、関係あるでしょうね。というより、バンドギャップそのものが活性化エネルギーになるような気がします。

＞導電率ｓはs_0*exp((E_b - E_a)/(1000*k))ということでしょうか。

普通の考え方で行くと、価電子帯に励起されて流れる電子の数が温度依存し、その量がAhreniusプロットでの傾きになると思います。つまり電流I（T）が
I（T)＝I(T＝0）×exp[ (E_b - E_a)/k_B T ]

導電率σ（T）は一定の電圧Vで測定した場合、
V＝R（T）I（T）＝I（T）/σ（T）
ですから、
σ（T）＝(1/V)×I（T）
　　　＝(1/V)×I（T＝0）×exp[ (E_b - E_a)/k_B T ]
　　　＝σ（T＝0）×exp[ (E_b - E_a)/k_B T ]
ですね。

なるほど、質問者さんの言う通り、求まりました。

補足

ご回答ありがとうございます。
＞というより、バンドギャップそのものが活性化エネルギーになるような気がします。

このことについてですが、バンドギャップが5 eVでありながら、導電率の活性化エネルギーが1 eVというようなデータを見ることがあるのですが、どういうことかお分かりになりますか。