[時系列]AR(p)におけるE(ZX)の値

質問

AR(p)モデルに従う定常系列 Xt と、白色雑音 Zt に対し、
E(XtZt)=E(Zt) が成り立つようなのですが、証明ができません。
本当にこの式は成り立つのでしょうか・・・？

回答No.1

goma_2000 · ベストアンサー

回答になっているかどうか。。。
Xt'（t'=t-1～t-p）とZtは独立なので、ということです。

自己回帰式
　Xt=a(t-1)Xt-1+a(t-2)Xt-2+....+a(t-p)Xt-p+Zt
において

右辺のノイズZtとXt'（t'=t-1～t-p）が独立でないなら、Ztノイズではなくなります。なので、仮に独立でないとするなら、独立ではない成分はXt'に繰り込まれるはずです。そうして、結局はZtはXt'とは独立な成分のみが残るということです。

また、E(XtZt)=E(Zt) は正確には
E(XtZt)=E(Zt^2)ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お返事遅れてしまい大変申し訳ございません。

＞E(XtZt)=E(Zt) は正確にはE(XtZt)=E(Zt^2)ですね
についてなのですが、↓のサイトを見る限りでは
http://tswww.ism.ac.jp/kawasaki/nagoya2001summer/sld031.htm
E(XtZt)=0 となっているので、E(XtZt)=E(Zt^2)=σ^2 とは
考えにくいような気がするのですが・・・

回答No.2

goma_2000

> E(XtZt)=0 となっているので、E(XtZt)=E(Zt^2)=σ^2

ですが、E(XtZt)ではなく、E(XtZt)=E(Zt^2)=σ^2とかかれています。
h=0の時という条件が理解できていないのかな？

いま、
　　E(XtXt-h)=aE(Xt-1Xt-h)+...+E(Xt-pXt-h)+E(ZtXt-h)
という式においてh=0とした式を見ると最後の項がσ^2なので
　　E(ZtXt-h)＝σ-2 (h=0の場合)
となります。よって、
　　E(XtZt)=E(Zt^2)=σ^2
となります。

先の回答にも書きましたが、Xt'（t'=t-1～t-p）とZt（ノイズ）が直交する事は解りますか？それから自然に上の式が導かれるのですが。

お礼

＞　先の回答にも書きましたが、Xt'（t'=t-1～t-p）とZt（ノイズ）が直交する事は解りますか？

あっ！やっとわかりました！解決しました！

何度もお返事を下さり、ありがとうございました！