【時系列解析】定常過程の一般形の証明について

質問

定常過程の一般形の証明について質問させてください。

現在、時系列解析を学ぼうと思い、
http://www.iwanami.co.jp/.PDFS/02/0/0227610.pdf　（注：PDFファイル）
の1.3　線形過程の項目を読んでいました。（13ページあたり）

この資料によれば、

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y[t] =Σ[j=0,∞]　α[j]ε[t－j], α[0] = 1,　Σ[j=0,∞]　α[j]^2 < ∞ …(1)

ここで，{ε[t]} ∼ i.i.d.(0, σ^2) である．定数の係数列{α[j]} と確率過程
{ε[t]} に関するこれらの条件のもとで，{y[t]} は定常過程となる
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とあります。

手元にある別の参考書では、Σ[j=0,∞]　|a[j]|　<∞…(2)が成り立つなら定常性が成り立ち、短期記憶、つまりy[t]の自己共分散S =Σ[h=0,∞]　|Cov(y[t], y[t+h])|　は有限値となると書かれているのですが、なぜΣ[j=0,∞]　|a[j]|　<∞が成り立つなら定常性が成り立ち、短期記憶が成り立つのでしょうか。

(2)のような条件が持ち出される理由がわかりません。
(2)は(1)の定常性を証明するのに必要だからでしょうか。
仮に必要なのだとしたら、なぜ(2)の条件があれば(1)の定常性が保証されるのでしょうか。この証明を教えてください。

線形代数、統計学と確率論の基礎（確率の基礎から仮説検定まで）は理解しています。よろしくお願いいたします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

ANo.1 で、「（２）が成立するとき短期記憶が成り立つ」の部分の証明が抜けていたので、追加します（添付画像）。

なお、α[j]≧0 とみなしています。絶対収束する級数を扱っているので、足し算の順序を入れ替えて良いことに注意。

お礼

とても丁寧なご回答、大変ありがとうございます。
今まではy[t]が確率過程であるということを忘れ、α[j]の扱いなどがいまいち理解しきれなかったのですが、ramayana様の説明ですっきりと理解できるようになりました。

本当にありがとうございました。

回答No.1

ramayana

「(2)のような条件が持ち出される理由がわかりません」

いろいろな判定方法があった方が便利だから、という程度の理由だと思います。

「(2)は(1)の定常性を証明するのに必要だからでしょうか」

必要ありません。

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若干説明します。その参考書では、多分、（１）の前半部分

「y[t] =Σ[j=0,∞]　α[j]ε[t－j], α[0] = 1」

については、（２）においても、同じく前提としているのではないでしょうか（ただし、（２）の a は、αに読み替える）。そこで、（１）の最後の部分

「Σ[j=0,∞]　α[j]^2 < ∞」

を（１）’とします。すると、（２）が成立するなら（１）’が成立します。理由は、次のとおり。

（２）が成立する
⇒　ある n が存在して、 j > n のとき |α[j]| < 1
⇒　j > n のときα[j]^2 < |α[j]|
⇒　（１）’が成立する。