product spaceを用いた確率過程の期待値の極限
測度論的確率論にお詳しい方，以下の質問に答えていただけると幸いです．
[定義]
1. (Z,Θ): measurable space. Θはσ-algebra．
2. Z^∞=Z×Z×Z×... (Zの直積を可算無限回とった集合)
3. 以下の形をした集合Bは``finite measurable rectangle'':
B=A_1×A_2×...×A_T×Z×Z×...,
ここで，A_t∈Θ for all t=1,2,...,T. T∈N
4. Φ^T: Tを所与としたとき，全てのfinite measurable rectangleを含む集合族．
5. Φ: 全てのfinite measurable rectangleを含む集合族．
6. Ψ^T: Φ_Tの要素の任意の有限個の組み合わせのunionを全て含む集合族．
7. Ψ: Φの要素の任意の有限個の組み合わせのunionを全て含む集合族．
7. Θ^T: σ-algebra generated by Ψ^T
6. Θ^∞: σ-algebra generated by Ψ
7. μ^∞:Θ^∞→[0,1]: Θ^∞上に定義された確率測度．ただし，
これはΦ上で定義された確率測度をΨ上のそれへと拡張し，さらに
それをΘ^∞上に拡張して導出されたものとする．
8. ξ_t:Z^∞→Z:以下で定義されるmeasurable function
ξ_t(z_1,z_2,...)=z_t , t∈N
[Remark]
a. 自然数の集合Nは要素として∞を含まないので，T<∞.
b. Ψ^T,Ψはalgebraである．
c. 7.の例として，transition functionを使ってマルコフ過程を定義したものがある．
[確率過程]
このとき，
Θ^1⊂Θ^2⊂Θ^3⊂...
となり，かつ，ξ_tはΘ^t-measurable functionなので，({Θ^t}_t,(Z,Θ),{ξ_t}_t)
のセットは(Z^∞,Θ^∞,μ^∞)上に定義された確率過程となる．
[質問]
ようやく質問です．
今，Zがある有界な閉区間だとして，確率変数ξ_tの期待値がうまく定義できるとします．
このとき，定義から，Mが有限であればE(ξ_M)が定義できます．
では，lim_{M→∞}E(ξ_M)についてはどうでしょうか？
自分としては，定義されないと考えています．というのも，lim_{T→∞}Ψ^Tは
補集合について閉じていないのでalgebraでなくなります．したがって，拡張定理を
使えなくなって確率測度μ^∞がそもそも定義できなくなってしまうからです．
このロジックは正しいでしょうか？
では，lim_{M→∞}ρ^M E(ξ_M),0<ρ<1,についてはどうでしょうか？
E(ξ_M)自体は定義されないけど，仮にE(ξ_M)が存在しても，0に収束するのだから
「lim_{M→∞}ρ^M E(ξ_M)は定義される」と言っても問題ない，考えていますがいかがでしょうか？
長くなってしまいましたが，お聞きしたいのはこの2点です．数学の
勉強をして少しずつ慣れてきたものの，まだ自分の結論に確信をもてる
ほどのレベルには至っておりません＾＾；宜しければ数学に強い方の
ご意見をきればと思います．どうぞよろしくお願いします．
お礼
コメントありがとうございます。希少性、独立性、定常性を元にした定義もあるのかも知れませんが、今考えている問題は、 (P1) N(t)=0 a.s. (P2) N(t)は独立増分、かつ定常増分。 (P3) N(t)は確率連続。 (P4) N(t)は平均λtのポアソン分布に従う。 という4つの条件のみを満たすような確率過程N(t)に、いわゆる希少性のような性質が存在するか？ということです。言い換えれば希少性は上記4条件に内在されているか、あるいは希少性まで付け加えたければ、新たに(P5)としてそれを明記しないといけないのか、という問題です。