微分方程式を解いて！

質問

●　y'-y=t , y(-1)=0
上の微分方程式を解いてください。
途中式を教えてください。
ちなみに、答えは y=-t-1 です。

回答No.4

i536 · ベストアンサー

p(x),q(x)を任意のxの関数とします。
１階の線形微分方程式はつぎのような形(1)をしています。

y'+p(x)*y = q(x) ---(1)

(1)の解の公式は下式(2)です。

y =e^{-∫p(x)dx}*{∫(e^∫p(x)dx)*q(x)dx + c } ---(2)

与えられた問題では、p(x)=-1,q(x)=x ですから、(2)より

y=e^{-∫(-1)dx}*{∫(e^∫(-1)dx)* x dx + c}

=e^x * {∫(e^-x)*x dx + c}

=e^x * {- (e^-x)*x - (e^-x) + c}

= - x - 1 + c*e^x.

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

i536

y' - y = t ---(1)

(1)の両辺に e^-t (eの-t乗)をかけて

(e^-t)*y' - (e^-t)*y = t * (e^-t) ---(2)

左辺は　{ (e^-t)*y}'　なので両辺をｔで積分し、cを積分定数とすると、

(e^-t)*y = -t*(e^-t) - (e^-t) + c ---(3)

(3)の両辺に　e^t　を掛けると、

y = -t - 1 + c*e^t　---(4)

初期値 y(-1)= 0 を(4)に適用すると、C=0.

したがって、下記が解となります。

y = -t - 1

なお、(1)は１階の線形微分方程式なので公式を使って
簡単に解くこともできます。
線形微分方程式で調べると大概の本に書いてあります。

お礼

ありがとうございます。
これは、これでよく分かったんですけど、
線形微分方程式の公式を使ったのも教えてほしいんです。
公式を使ったのでやってみたんですけど、出来なくて・・・

回答No.2

Umada

【大学生の解き方】微分方程式を解く時は、まず最初に方程式がどのような分類のものであるかを考えます。

y, y'の乗算の項を含まない→線形方程式である。線形は非線形に比べ解き易い
右辺がゼロでない→非同次方程式である。ちょっと厄介

ということに気付くと見通しが立て易くなります。

非同次・線形方程式の場合は以下の解き方が一般的です。
まず当てずっぽうでもよいので解を一つ見つけてきます(これは、解き易い同次線形に帰着させるため)。その解をy*とします。
y*は
(y*)'-y*=t　　(1)
を満たします。これを元の方程式
y'-y=t　　(2)
から辺々引くと
(y*-y)'-(y*-y)=0　　(3)
となります。改めてy*-yをzと書くことにすれば、
z'-z=0　　(4)
となって非常に簡単な方程式(右辺がゼロである、すなわち同次方程式)になります。
解き易い(4)を解いて、y=y*-zを使ってyに戻してやればよいのです。(4)の解は難なく
z=C exp(t)　　(5)
と求められます。Cは積分定数です。expはご存じかと思いますが指数関数(e^t)です。

では実際に(1)を満たすような解を一つ見つけてくることにします。(1)の右辺はたかだかtの1次式ですから、y*を1次式として探せば解が見つかりそうです。
y*をat+bなどとおいて(1)に代入すると
a-at-b=t　　(6)
になりますから、容易にa=-1, b=-1が解(の一つ)として見つかります。(注　これは解ですが、解の総てではありません。特殊解などと呼びます)

一般解は前出のようにy=y*-zですから、
y = -t-1-C exp(t)　　(7)
が一般解です。
与えられた条件、y(-1)=0からCを決定することができ、容易にC=0と分かります。
即ち答えはy=-t-1です。

まとめると
(1)何でもいいから解を一つ見つけてくる(特殊解)
(2)それを使って、方程式を解き易い同次方程式に帰着させる
(3)(2)の解と特殊解の和(差)が一般の解である
(4)他に条件が与えられていれば、それから積分定数を決定する
ということになります。

【高校の知識での解き方】
与えられた方程式が y'-y=0 だったなら解き易いのになあ、という出発点は同じです。
例えば数列の問題でも、
A[n+1]-3A[n]=0　　　(8)
なら解き易いのに、
A[n+1]-3A[n]=2　　　(9)
だと途端に面倒になりますよね。で、(9)をどうやって解いたかといえば
A[n+1]-α+3{A[n]-α}=0　　(10)
を満たすようなうまいαを見つけてきて、
B[n+1]+3B[n]=0 　　(11)
の形に直すのでしたね。これと同じことをこの微分方程式でもやります。

右辺はたかだか1次式ですから、与えられた方程式をなんとか
(y-at-b)'-(y-at-b)=0　　　(12)
の形に帰着できないか考えます。y+at+b=zと置けば、上の(4)以下と同様簡単に解けるからです。
これは(2)と睨み合わせることでa=-1, b=-1が容易に分かります。よって
y= -t-1+C exp(t)　　(13)
が一般解であり、この中で条件を満たすものはC=0だけです。もちろん、最初の解き方と同じ答えになります。

(12)の解き方はご存じかと思いますがいちおうお節介なまでに書いておくと
(dz/dt)-z=0　　　(13)
ですから、2項目のzを移項して
(dz/dt)=z　　　(14)
とし、さらに
dz/z=dt　　(15)
として両辺を積分すれば
t= log_e |z|+C　　(16)
を得ます。log_eは自然対数、Cは積分定数、||は絶対値記号です。
これを改めて
z= C exp(t)　　(17)
とします。(積分定数Cも書き直しました)

回答No.1

dendai

yはtの関数でいいんですよね？
ラプラス変換でよいでしょうか？

両辺をラプラス変換して、
sY-y(0)-Y=1/s^2
Y(s-1)=1/(s^2)+y(0)
Y=1/s^2(s-1)+y(0)/(s-1)
=(-1/s^2)-(1/s)+{1/(s-1)}+{y(0)/(s-1)}

逆ラプラス変換して、
y=-t-1+e^t+y(0)e^t

ここで、条件のy(-1)=0を使い、
y(-1)=1-1+(1/e)+{y(0)/e}=0
y(0)=-1

よって、
y=-t-1+e^t-e^t
=-t-1

こんなかんじです。