ベクトル場について

質問

２次元球面上に、零点を１つしかもたない滑らかなベクトル場を構成せよ。
という問題が解けません誰か教えてください。

回答No.3

kyoto2001

この問題はPoincare-Hopfの定理（一種の指数定理）と関係しています。
Poincare-Hopfの定理の内容は、ベクトル場の特異点（ゼロ点）と空間の
オイラー数（位相不変量：球面の場合は２）の関係をつけるものです。
ベクトル場の特異点は指数がついています。位相幾何学の本に書いてあると思うのですが、湧き出し、吸い込み、鞍点と分類があり、それぞれ、１、１、－１となってると思います。これらの和はオイラー数に等しくなければなりません。
したがって、湧き出しまたは吸い込みが一つづつあるようなベクトル場（南極ー＞北極の流れ）をつくり、２つの点を近づける極限を考えればよいです。これは、双極子が一点にあるような流れです。

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.2

stomachman

球面上に小さい棒磁石を乗せます。この磁石の磁力線を描いてみましょう。

お礼

ありがとうございました。具体的でわかりやすかったです。

回答No.1

spitz111

球面-{1点} から平面への射影 p を考える。

このとき

p^(-1) ・平行移動・p

という変換を考えると、これは 1点だけ固定しそう。

これを参考にベクトル場をつくればいいのでは？