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微分方程式の途中計算
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- celery
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おはようござます。 はじめのご回答者とは別の解法を補足します。 logｙ＝-logｘ＋Ｃ exp(logｙ)＝exp(-logｘ＋Ｃ) exp(logｙ)＝exp(logx^-1+Ｃ) exp(logｙ)＝exp(log(1/x)+Ｃ)=exp(log(1/x))×exp(Ｃ) ところで exp(log a)=a なので(この事は両辺のlogをとると簡単にわかります) 上の式は ｙ＝1/x×exp(Ｃ) となります。exp(Ｃ)をあらたにＣと書き換えると y=1/x×Ｃ 従って y=Ｃ/x となります。
- aquarius_hiro
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こんにちは。 > 最初に両辺をｙで割って、両辺を積分すると、logｙ＝-logｘ＋Ｃになりますか？ 大体合ってますが、正確には、log|y| = - log|x| + C ですね。 質問にあるように、最初に両辺を y で割って積分すると、 ∫dy/dx・1/y・dx = ∫(-1/x) dx になるわけですが、左辺は dx が打ち消しあうようにしてよいので、 ∫dy/y = log|y| + C になります。 右辺も同様に、-∫dx/x = log|x| + C' になります。 これらが等しいので、log|y| = -log|x| + (C' - C) ですが、C, C' は任意定数なので、C'-C を改めてCとおきます。 log|y| = - log|x| + C = log(e^C/|x|) の指数をとると、|y| = e^C/|x| より、y = ±e^C/x になりますが、ここで、±e^C を改めて C とおくと、 y = C/x が得られます。
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