物理の質問です☆

質問

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のように質量、半径が等しい３本の円柱を積む。各接触面の摩擦を無視して、円柱が崩れないように地面を中心から左右対称に上に何度曲げて斜面を作る必要があるか。答えは10.9°でした。わかりません！

回答No.1

YHU00444

ちょっとご質問の図がゆがんでいるので状況理解に手間取りましたが、要は円柱は正三角形のような形に積まれているのですよね。
でしたら、以下のように一番下の円柱についてのつり合いの関係を考えれば、比較的簡単に答えは出ます。

まず、地面との抗力をN1（傾きをθとする）、上の円柱との抗力をN2、下の円柱同士に掛かる抗力をN3とすると、幾何学的に考えて（要するに力を図示して調べる）それぞれの力のベクトルはxy平面に対して以下の通りに書けることがわかります。
↑N1=(-N1*sinθ,N1*cosθ),↑N2=(N2*cos60,-N2*sin60),↑N3=(N3,0)
ついでに円柱にかかる重力も↑Gで表しておくと、↑G=(0,-mg)（ここでmは円柱の質量）
※ところで、N2は上の円柱を支える力なので、上の円柱についてのつり合いの関係からmg=2sin60*N2=√3*N2となるはずです。よってN2=mg/√3より、↑N2=(mg/2√3,-mg/2)。

さて、ここでつり合いの関係から↑N1+↑N2+↑N3+↑G=0だし、円柱が崩れないためにはN3>0でなければならないことも分かりますから（円柱同士を接着でもしない限り、N3を負にすることはできないから）、この条件を丹念に計算していってtanθの条件を出してやるとtanθがある数より大きいという結果が出てきて、それはすなわちθがある角度以上であることを示しているというわけです。（おわり）