ミクロ経済数学

質問

次の関数は、凸関数か、凹関数か、あるいはいずれでもないか
理由とともに答えなさい。

(1)f(x)=-x^4（x∈Ｒ）
(2)f(x)=x^3（x∈Ｒ）
(3)f(x)=logex（x＞0）

ヒントに、凸関数、凹関数に関する２回の微分による特徴付けを使うとあります。

ヒントを考えて一応してみたのですが
(1)は
f'(x)=-4x^3
f''(x)=-12x^2
凹関数？

(2)は
f'(x)=3x^2
f''(x)=6x
凸関数？

(3)は全くわからず…

凸関数か、凹関数か、どちらでもないのか、そしてその理由付けが全くわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>…
>(3)f(x)=logex（x＞0）
>…
>ヒントに、凸関数、凹関数に関する２回の微分による特徴付けを使うとあります。
…[ヒント 2 ] 2回微分可能な関数f(x) が凸関数であるための必充条件は f"(x)≧0 。
を使いましょうか。

>(1)は
>f'(x)=-4x^3
>f''(x)=-12x^2
>凹関数？
…YES.

>(2)は
>f'(x)=3x^2
>f''(x)=6x
>凸関数？
…（x∈Ｒ）では、どちらでもない。
x の正領域と負領域とにわけて良ければ、正領域で YES, 負領域で凹関数。

>(3)は全くわからず…
…　f'(x)=1/x
　　f"(x)=-1/x^2 < 0 （x＞0）
ゆえに、凹関数。

お礼

何度も教科書と178tallさんの解説を見比べていくことで
>x の正領域と負領域とにわけて良ければ、正領域で YES, 負領域で凹関数。
こちらが何だかわからなかったのですが、今よくわかりました。
助かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

基本的には, 全変域で
2階微分が常に正: 凹
2階微分が常に負: 凸
その他: 凸でも凹でもない
です.

お礼

アドバイスありがとうございます！