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証明が出来ません・・・
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ヴェクトル積を、行列式で表現する方法は知っておられるでしょうか？ 知っておられない場合は、いま覚えておくと便利です。 ＢＸＣというヴェクトル積は、Ｂ＝（b1, b2, b3）、Ｂ＝（c1, c2. c3）とすると、行列式で、次のように書けます。行列式の左右の縦線は省きます。 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ｉ ｊ ｋ ここで、ｉ，ｊ，ｋというのは、空間の直行単位ヴェクトルです。これはヴェクトルになり、つまりＢＸＣ＝(b1c2-b2c1)ｋ＋(b3c1-b1c3)ｊ＋(b2c3-b3c2)ｉ となります。 これに更に、Ａをヴェクトル積でかけるので、式は、 a1 a2 a3 (b2c3-b3c2) (b3c1-b1c3) (b1c2-b2c1) ｉ ｊ ｋ となります。 ところで、答えの方は、Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）で、これはヴェクトルになっています。Ｂ＝（b1, b2, b3）で、Ｃ＝（c1, c2, c3）とすると、 Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ－（Ａ・Ｂ）Ｃ ＝(a1c1+a2c2+a3c3)*(b1,b2,b3)－(a1b1+a2b2+a3b3)*(c1,c2,c3) ということになります。ヴェクトル基底は、ｉ，ｊ，ｋです。 ところでの上の行列式は、ヴェクトルを表していて、それぞれは成分でみると： ｉ成分：a2(b1c2-b2c1)－a3(b3c1-b1c3) ｊ成分：a3(b2c3-b3c2)－a1(b1c2-b2c1) ｋ成分：a1(b3c1-b1c3)－a2(b2c3-b3c2) このようになります。ところで、これはヴェクトルの成分です。そこでよく成分を見ると： ｉ成分：a2(b1c2)-a2(b2c1)－a3(b3c1)+a3(b1c3) ｊ成分：a3(b2c3)-a3(b3c2)－a1(b1c2)+a1(b2c1) ｋ成分：a1(b3c1)-a1(b1c3)－a2(b2c3)+a2(b3c2) このように書けるのであり、更に、要素の順序を入れ替えて整理すると： ｉ成分：a2(b1c2)+a3(b1c3)-a2(b2c1)－a3(b3c1) ｊ成分：a3(b2c3)+a1(b2c1)-a3(b3c2)－a1(b1c2) ｋ成分：a1(b3c1)+a2(b3c2)-a1(b1c3)－a2(b2c3) これを変形して、相殺する成分を入れます： ｉ成分：(a2c2)b1+(a3c3)b1+a1b1c1-(a2b2)c1-(a3b3)c1-a1b1c1 ｊ成分：(a3c3)b2+(a1c1)b2+a2b2c2-(a3b3)c2-(a1b1)c2-a2b2c2 ｋ成分：(a1c1)b3+(a2c2)b3+a3b3c3-(a1b1)c3-(a2b2)c3-a3b3c3 これは、成分を比較すると、一目瞭然で、 Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ－（Ａ・Ｂ）Ｃ ＝(a1c1+a2c2+a3c3)*(b1,b2,b3)－(a1b1+a2b2+a3b3)*(c1,c2,c3) と同じだと分かります。(a2c2)b1+(a3c3)b1+a1b1c1 などは、(a1c1)b1+(a2c2)b1+(a3c3)b1 と、文字の順序が違うだけで同じですから、結局、 ＡＸ（ＢＸＣ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ－（Ａ・Ｂ）Ｃ＝Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ） となって、証明できたことになります。 結局、成分を比較するということで、ヴェクトル三重積の計算で、ヴェクトルの成分計算ができるということは、行列式表現での計算に対応しているのです。 行列式を使わないでも、ヴェクトル三重積のヴェクトルを、二つのヴェクトルに分けることができ、それが、ＢとＣのヴェクトルで、その成分は、証明する式のようになるということです。
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- nikorin
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これはベクトル三重積といわれるものですね。 ちなみにスカラー三重積はＡ・（Ｂ×Ｃ）です。 力学や電磁気学でよく顔を出しますね。 等式の証明方法はranxさんの言われているとおりです。 成分計算すればいいです。
- ranx
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物理学というより数学の問題のように思いますが．．．。 座標成分に分解したらよいのではないですか？ A=(xa,ya,za), B=(xb,yb,zb), C=(xc,yc,zc) とすると A×（B×C)のx成分はya(xb*yc-yb*xc)-za(zb*xc-xb*zc) B・（A・C）- C・（A・B）のx成分はxb(xa・xc+ya・yc+za・zc)-xc(xa・xb+ya・yb+za・zb) で、これらが等しいことはすぐ分かります。 y成分・z成分についても同様に比較すればよいと思います。 名前は知りません。
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