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微積の問題（大学）
大学で出た課題で分からないものがあるので 教えていただければと思います。 ベルヌーイ方程式を使うのかも知れないのですが それがどういうものなのかということからよくわかっていません。 分からない問題は三問で、 y'+y=xy^-1と y'+xy=xy^-1と もうひとつ、 初期値問題なのですが、 y''+y=-3sin2t でy''+y=0は特性方程式を利用し 虚数から実数を使った一般解に変換し Ccost+Dsintになるであろうことは予測できたのですが その後の -3sin2tをどう扱えば良いのか 方針が全く分かりません。 教えてください。
- torya9
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最初の問題の、xy^-1というのは、ｘ/ｙのこととして話を進めます。 最初の２問は、そのとおりでベルヌーイの方程式です。両辺にｙをかければ、 ｙｙ’＋ｙ^2 ＝ ｘ ｙｙ’＋ｘ（ｙ^2） ＝ ｘ となります。あとは、ｕ＝ｙ＾２ と置き換えれば、ｄｕ/ｄｘ＝２ｙｙ’ になるので、この方程式はｕの１回微分方程式になります。 後半の問題ですが、特性方程式を使うところまではあっています。あとはロンスキー行列式を使ってこの方程式の特殊解を出すか、または特殊解を ｐcos２ｔ＋ｑsin２ｔ としてもとの微分方程式の解になるようにｐ、ｑの値を定めるかのどちらかを使えばいいでしょう。 簡単に言うと、この方程式の解は ｙ ＝ Ccost+Dsint＋ｆ（ｔ） という形になっているので、 ｙ''＋ｙ ＝ ｆ''（ｔ）＋ｆ（ｔ） ＝ －３sin2t という式を満たすようなｆ（ｔ）（だだしcosｔ、sinｔとは線形独立）を見つければよいということです。
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お礼
やってみて出来ました。 ありがとうございました。