ステップ応答の周波数特性による解析方法について

質問

制御工学において、伝達関数のsにjωを代入して得られる周波数特性からステップ応答波形を予測するときに疑問があります。
　例えば、周波数特性でω＝ω１のときに、ゲインが1/5になり、位相遅れが40°であるような伝達関数があるとします。そこに、sin(ω１ｔ)という信号を入れたら定常状態では出力が1/5×sin(ωt-40°)になりますよね。でもそれは定常状態での話であって、当然過渡状態では違う出力が出ると思うんです。
　で、ステップ応答っていうのは、別に時刻０秒に立ち上がってもいいじゃないですか？つまり、ステップ応答を正弦波の重ね合わせで捕らえた場合、その一つ一つの波は０秒付近では過渡状態にあると思うんです。なのに、定常状態でのゲイン利得や位相特性をつかって、オーバーシュートやリンキングの解析をするところに納得ができません。
　確かに、十分時間がたった後の方形波において、周波数特性から解析するのは納得です。十分時間が立てば、一つ一つの波は定常状態なので、位相特性やゲイン利得をそのまま適用できるからです。なのに、なんで普通のステップ応答にも適用できるのでしょうか？
　すいません。文章が下手なもので、質問の意図を理解してもらえないかもしれませんが、どなたかお願いします。

回答No.10

ringouri · ベストアンサー

No.5です。
No.6さん、No.7さんの欄「この回答への補足」（by 質問者さん）の記事に簡単にコメントします。

既に御自身で理解されている[10)]ように、平たく言えば「0～1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」ということで結構ではないでしょうか。（ただし、この例では、時間の単位は秒ではなく μsec（マイクロ秒）ですが）
引用してあるWEBのページの筆者が、質問者さんみたいに深く考える人を想定していなかっただけのことです。しかし、別に、その筆者が良くないわけでもありません。
方形波の周波数がフィルタの折れ点（コーナー周波数）よりもかなり低い場合には、近似的に上記の考え方は成り立っていますので、OKです。
ただし、厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。たとえば、方形波が正負対称な波形ではなくて、0Vと1Vの（DC成分をもった）波形を考えれば、DC成分の過渡状態が明確に現れますので、違いを理解しやすいかと思います。

質問者さんが疑問に思われたことへの、ひとつの厳密な回答例として、形は少し異なりますが、関口忠『電気回路II』（オーム社、現代電気工学講座）p50～p59に解説があります。図書館にでもあれば、参考にしてみてください。

お礼

やはりそのように考えていいんですね。自分がまさに求めていた答えです。
「厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。」
というのもメチャクチャ納得できます。
「ただし、厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。たとえば、方形波が正負対称な波形ではなくて、0Vと1Vの（DC成分をもった）波形を考えれば、DC成分の過渡状態が明確に現れますので、」
というのも、以前に Labviwに方形波の周期を色々かえて実行させたことがあり、その波形を覚えているので言っていることがよくわかります。
「方形波の周波数がフィルタの折れ点（コーナー周波数）よりもかなり低い場合には、近似的に上記の考え方は成り立っていますので、」
という記述で自分の考えが正しいことを確信しました。
本当にありがとうございました。