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ある関数について
Mr_Hollandの回答
手持ちの平面曲線のリストには載っていなかったので、あまり実用的な曲線ではないのかもしれません。(数学的には意味があるかもしれませんが。) f(x)=x^x=exp{x*log(x)} (x>0のとき) と変形すると、容易に微分ができて、 f'(x)={1+log(x)}x^x f''(x)={1+log(x)}^2 x^x +x^(x-1) となり、x=1/e で極小値を持つことがわかります。 また、 f(0)=f(1)=1、 f(1/e)=e^(-1/e)=0.692201 という値を取りますので、0<x<1 の辺りでは、f(x)は1を下回るところで落ち着いていることが分かります。 x>1では、想像通り、指数関数を上回る速度で無限大へ飛んでいってしまいます。 さて、x<0 の範囲ですが、f(x)が微分できなかったように、離散的になり、整数値でのみ関数値を持つようです。 f(0) =+1 f(-1)=-1 f(-2)=+1/4 f(-3)=-1/27 f(-4)=+1/256 ・・・・・・・ このように、xの値が1小さくなるごとに符号を反転させていきますので、f(x)は振動しながら0に近づいていくと見られます。 x≧0では連続関数で、指数関数より早く無限大へ飛び、 x<0では離散関数で、振動しながら0に漸近する f(x)=x^x とは、そういった変わった関数のようです。
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お礼
すごいです、感動しました! とても丁寧な回答、ありがとうございました。