完全平方式の問題が分からないのですが

質問

完全平方式の問題でとき方が分からず困っております。
判別式=0を使う所までは分かるのですが、途中で手が止まってしまいました。大変申し訳ないのですが、お教え願えないでしょうか。
問題は以下の通りです

(c-a)x^2+(a-b)x+(b-c)が完全平方式になるのは、a,b,cがどんなときか。ただし、a≠cとする。

という問題です。私は
(a-b)^2-4(c-a)(b-c)=0
とおき、一度展開してから・・・と進めていったのですが
どうも答えにはたどり着けませんでした。
ちなみに答えは「a+b=2cの時」となるようなのですが、
どうやってたどり着くのかお教え頂けないでしょうか。よろしくお願い致します。

回答No.2

fjnobu · ベストアンサー

>(a-b)^2-4(c-a)(b-c)=0 式を展開して
（a+b) を　ｘ　とおくと
　x^2－４ｃｘ＋４（ｃ^2）＝０
となり、これを解くと答えにたどり着きます。

お礼

ありがとうございます！そのような方法がありましたか・・。(a-b)^2を、(a+b)^2-4abと変えてからそのように置き換えるのは気づきませんでした・・・。その方法で簡単に解けました。ありがとうございました。

回答No.5

noname#47975

まず、
c-a = A
a-b = Bとおけば、

b-c = -(A+B)

と表せます。

すると、
２次式は、
Ａｘ＾２＋Ｂｘー（Ａ＋Ｂ）＝０
と表せ、

判別式は、Ｂ＾２＋４Ａ（Ａ＋Ｂ）＝０
となります。左辺を展開し因数分解すれば、
（Ｂ＋２Ａ）＾２ ＝　０
となるので、Ｂ＋２Ａ＝０
となります。

後は、Ｂ＝a-b Ａ＝c-aを上記の関係式に代入すればあ、
a-b + 2(c-a) = 0
a+b = 2cとなります。

お礼

その方法でもやってみます。詳しく書いていただきありがとうございました。皆さんのおかげで解くことが出来、大変感謝しております。

回答No.4

koko_u_

(c-a)x^2 + (a-b)x + (b-c) が完全平方式になるには、ある k ∈ R をもって

= (c-a)(x + k)^2

となるということ。展開して、係数を比較すると

(a-b) = 2(c-a)k
(b-c) = (c-a)k^2

2式を足すと

(a-c) = (c-a)(k^2 + 2k)

a ≠ c だから

k^2 + 2k + 1 = 0

よって k = -1 しかあり得ず、元の式に戻って

(a-b) = -2(c-a)
(b-c) = (c-a)

いずれの式も

2c = a + b

を表現しており、このとき (c-a)x^2 + (a-b)x + (b-c) = (c-a)(x-1)^2

お礼

そのような解き方もありましたか。a ≠ c と書かれていた理由が分かりました。数学的視野が少し広がった気がします。ありがとうございました。

回答No.3

kura_1967

(a-b)^2-4(c-a)(b-c)=0
をｃについての2次式と見て展開し整理すると
最終的に
(2c-(a+b))^2=0
の形になります。

お礼

おかで最後にいたる形まで確認できました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

あ～, 確かに展開して c の 2次式と思えばそんな感じになるかも....

お礼

真っ先に回答して頂きありがとうございました。これから他の皆様の回答もん参考にさせていただきます。