範囲の問題

質問

|m|<2の条件でx^2+mx+1>2x+mのxの範囲を求めよ。と言う問題で
まず、-2<m<2の範囲だから
(x-1)^2>-m(x-1)
x-1>-m

x>-m+1
そしてmに-2,2を代入したらx>3,x>-1となってx>3が答えになりました。
しかし、回答にはx≦-1,x≧3となっておりました。
何回もやってみたのですが、答えは毎回同じです。
どこが悪いのか、ご指摘お願いします。

回答No.3

noname#47975 · ベストアンサー

問題文の意味がイマイチ良く分かりません。
私の場合、少なくとも２通りの解釈が出来ます。

(1)「|m| < 2を満たすとき、x^2 + mx + 1 > 2x + mを満たすようなxのとりうる範囲を求めよ」

(2)「|m| < 2の範囲において、常に、x^2 + mx + 1 > 2x + mを満たすようなxの範囲を求めよ」

質問に記載されている問題文をそのままとれば、(1)のニュアンスの方が強いような気がします。

(1)の場合は、

m = 0のとき、(x-1)^2 > 0より、x≠1、また、x=1のとき
(1-1)^2 > -m(1-1)より、0 > 0なので任意のmにおいてx = 1
の値をとらない事が言える。よって、ｘのとりうる範囲はx ≠1である。

だが、問題の答えを見る限り(2)のような気がします。

まず、
(x-1)^2 > -m(x-1)については、
(x-1)が正、０、負の場合に分けて考えなければなりません。

(1)(x-1)が正

(x-1) > 0より、x > 1
(x-1)^2 > -m(x-1)より、両辺を(x-1)で割ると、
(x-1) > -mとなり、
すなわち、x > 1-mとなります。
-2 < m < 2 ならば、-1 < 1-m < 3となり、
ここで、x≧3と定めれば、任意のmに対して不等式を満たす事に
なります。しかし、x > 3と定めたくなるかもしれませんが
これは間違いです。なぜなら、1-mのとりうる範囲は３未満である
事に注意すれば、x≧3ならば、常に、1-m < xを満たすわけです。
要するに、x = 3のとき、1-m < xは、1-m < 3となって、これも
ＯＫだからです。
また、(x-1) が正となる条件であるx > 1にも注意をすれば、
x≧3ならば適用範囲でＯＫですね．．。

(2)(x-1) = 0のとき、
x = 1より、
(x-1)^2 > -m(x-1)に代入すると、
0 > 0になるので、不適です。

(3)(x-1) < 0のとき

これも(1)と同様に考えればよいだけです。
(x-1) < 0より、
x < 1
(x-1)^2 > -m(x-1)より、今度は(x-1)は負になるので、両辺を
(x-1)で割ると不等号の向きが変わり、
(x-1) < -mとなります。
そして、x < -m + 1となり、-1 < -m+1 < 3より、
x≦-1であれば、-2 < m < 2を満たす任意のmに対して、x < -m+1
すなわち不等式が成立します。
また、x < 1である事に注意をすれば、x≦-1は適用範囲内であるので、
ＯＫとなります。

よって、(1)(2)(3)より、x≦-1 , x≧3となります。

お礼

お礼遅くなって大変もうしわけございませんでした。
詳しい回答ありがとうございます！！

回答No.2

koroyan

どうやら不等式を理解していないようですね。
x^2+mx+1>2x+mについてmに-2,2を代入すると、
m=-2のとき、x=3,1
m=2のとき、x=±1
と求まります。
この時、x>0の範囲を考えると、
m=-2のとき、x≦1,3≦x
m=2のとき、x≦-1,1≦x
となり、整理すると、
x≦-1,3≦x
となります。

お礼

お礼遅くなって大変もうしわけございませんでした。
詳しい回答ありがとうございます！！

回答No.1

info22

＞(x-1)^2>-m(x-1)
＞x-1>-m
これが言えるのはx-1>0の場合(x>1)です。
x-1≧2よりx≧3…（A）
等号はmが-2より大きく-2に等しくならないから
x-1は2までなりうることから等号が入ります。

x-1<0の場合（x<1）は不等号の向きが変わりkます。
x-1<-m
m>2だから
x-1≦-2
x≦-1…(B)

x-1=0の場合(x=1)
最初の式
x^2+mx+1>2x+m
に戻って考えると
m+2>2+m
m>m
この式は成立しない。つまりx=1は適さない。…(C)

(A),(B),(C)をまとめれば解答の結果が得られますよ。

お礼

お礼遅くなって大変もうしわけございませんでした。
詳しい回答ありがとうございます！！