五次の不定方程式の問題

質問

A,B,C,D,Eを整数（負でもよい）とします．この時，五次の不定方程式
A^5 + B^5 + C^5 + D^5 = E^5 ・・・・・・・式(1)
の整数解として，
27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 ・・・・・・・式(2)
が知られています．では，式(1)の解は一般的に解かれているのでしょうか？
私は，式(2)の数値解しか知らないのですが，どなたか教えて下さい．

余談ですが，因みに，以下のような不定方程式もあります．
1020^4 = 400000^2 + 980^4 + 20^6,
18^4 = 14^4 + 16^4 + 4^5,
51^4 = 10^2 + 49^4 + 10^6,
4020^4 = 16000^2 + 3980^4 + 400^5,
9^4 = 2^6 + 7^4 + 8^4,
15^4 = 200^2 + 5^4 + 10^4,
35^4 = 800^2 + 15^4 + 30^4,
12^5 = 4^3 + 60^3 + 8^5,
85^4 = 3200^2 + 5^4 + 80^4 + 10^6,
4^3 = 3^3 + 6^2 + 1,
5^4 = 19^2 + 2^3 + 4^4,
7^6 = 10^3 + 4^5 + 10^5 + 5^6.

回答No.1

kts2371148 · ベストアンサー

私もよくわかりませんが、大変難しい問題のようです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
によると、
>> 種数が1以上の代数曲線には整数点は有限個しか存在しない
>> 種数1の代数曲線には有限個の整数点しか存在せず、それらは計算可能である

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/daenkyokusen.htm
によると、
>> ３次以上の不定方程式には一般に整数点が有限個しかありません
>> すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定する
>> 　アルゴリズムが存在しないことが証明されています．
>> 一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法は
>> 　まったく見つかっておらず，たとえば，
>> 　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－３＝０が（１，１，１），（４，４，－５）と
>> 　その並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．

ということだそうです。

http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/index.html
に関連する記述がたくさんあります。
http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/yogo.html
には、27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 も出ています。

お礼

ご回答ありがとうございました．
簡単には解けないこと，解けるかどうかも分からない，と言うことが
分かっただけでも進歩です．お教えいただいた URLで追々，調べて見ます．