不定方程式

質問

9b+49c=400
方程式の解法で質問があります。

【解】
9と49からユークリッド互除法で最大公約数1を作ると
49-9*5=4
9-4*2=1
9-(49-9*5)*2=9*11-49*2=1・・・・(1)
ここからは自由に400に寄せれますが、例えば
9*44+49*0=396・・・・(2)
(1)*4は
9*44-49*8=4・・・・(3)
(2)+(3)で
9*88-49*8=400
9*(88-49)-49*(8-9)=9*39+49=400
b=39,c=1

（１）の式から、“自由に400に寄せられる”とありますが、
（２）の式はどうやって作ったのですか？

よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

肝心な特別解を求める方法を忘れてた。。。。。。ｗ

＞9*(b+5c)＋4c＝400　だから、b+5c＝x ‥‥(1)　とすると9x+4c＝4*(c+2x)＋x＝400　

9x+4c＝400　から　c＝1 (x＝44)　はすぐ解る。それを　9b+49c=400　に代入すると　bも解る。

模範解答のようだと、かえって解りにくい。

回答No.4

alice_44

(2) など使わなくとも、
(1) の両辺を 400 倍してしまえば
特殊解は見つかる。

b, c を手ごろな大きさにしたければ、
9×49 + 49×(-9) = 0 を使えばよい。
(2) を思いつく必要は、特に無い。

回答No.2

mister_moonlight

質問は　特別解の求め方なんだが、より簡単なものに還元していくと解りやすい。

9*(b+5c)＋4c＝400　だから、b+5c＝x ‥‥(1)　とすると9x+4c＝4*(c+2x)＋x＝400　
c+2x＝y ‥‥(2)　とすると、x+4y＝400　→　x＝4(100-y)。
1と4は互いに素から、mを整数として、x＝4m、y＝100-m
(2)より、c＝y-2x＝100-9m、(1)より　b＝x -　5c＝49m-500。これが　bとcの一般解。
m＝11とすると、b=39,c=1　になる。

この問題は一般解を先に求めた方が、解くだけなら、簡単。

回答No.1

Tacosan

この問題を解くのに (2) は不要なんだから「どうやって作ったのか」という疑問そのものが無意味ではあるが, まあ「400 を 9 で割った」とか, その辺だろう.