多項式

質問

多項式X32＋X22+1はX2+X+1で割り切れることを示しなさい。
まったくわかりません。よろしくお願いします。

回答No.4

kkkk2222

１の三乗根は、１、ω、ω＾2

(X^3)＝１
ωは、此の式を満たすので、

　　　＜＃１＞　(ω^3)＝１

(ω^3)ー１＝０
（ωー１）（（ω＾2）＋ω＋１）＝０

　　　＜＃２＞（（ω＾2）＋ω＋１）＝０

(X^3)ー１＝０を因数分解して、
(X-1)［(X^2)+X+1］＝０
(X-1)(X-ω)(X-ω＾2)＝０

　　　＜＃３＞［(X^2)+X+1］＝(X-ω)(X-ω＾2)
ーーーーーー
(X^32)+(X^22)+1に、ωを代入して０になれば、
　（Ｘ－ω）で割り切れる。（因数定理）
　　(ω^32)+(ω^22)+1＝（ω＾2）＋ω＋１＝０
　　　(X^32)+(X^22)+1＝（Ｘ－ω）（・・・）

(X^32)+(X^22)+1に、ω＾2を代入して０になれば、
　（Ｘ－ω＾2）で割り切れる。（因数定理）
　　(ω^６４)+(ω^４４)+1＝ω＋（ω＾2）＋１＝０
　　　(X^32)+(X^22)+1＝（Ｘ－ω＾2）（・・・）
ーーー
つまり、（Ｘ－ω）（Ｘ－ω＾2）で割り切れる。
(X^32)+(X^22)+1＝（Ｘ－ω）（Ｘ－ω＾2）（・・・・・）
結果、
(X^32)+(X^22)+1＝［(X^2)+X+1］（・・・・・）
ーーーーーー

回答No.3

kts2371148

OKWave では数式をそのままでは表せません。
テキストしか書けないところに数式を書く場合、
暗黙のうちに一定のルールがあります。
x の y 乗を書きたいときには、x^y と書きましょう。

さて、＃２さんの方法でもいいのですが、
複素数を習っていなければ使えませんので、
別の方法を紹介します。
もちろん、地道に割り算しても答えは出ますが、大変です。
この問題の場合、次のような式を利用します。

(x^2 + x + 1)(x - 1) = x^3 - 1
(x^3 - 1)(x^18 + x^15 + x^12 + … + x^6 + x^3 + 1) = x^21 - 1
(x^3 - 1)(x^27 + x^24 + x^21 + … + x^6 + x^3 + 1) = x^30 - 1

３番目の式の両辺に x^2 をかけると、
(x^3 - 1)(***) = x^32 - x^2
となります。（以下、(***)は x についての多項式を表します。）
同様に、２番目の式の両辺に x をかけると、
(x^3 - 1)(***) = x^22 - x
となります。これを用いると、

x^32 + x^22 + 1
= { (x^3 - 1)(***) + x^2 } + { (x^3 - 1)(***) + x } + 1
= (x^3 - 1)(***) + x^2 + x + 1

ここで１番目の式を適用すると、

= (x^2 + x + 1)(x - 1)(***) + (x^2 + x + 1)

ですから、x^2 + x + 1 で割り切れます。

回答No.2

fukuda-h

因数定理を使います
ｘ^2+x+1を複素数の範囲で因数分解して、虚数を使って因数定理を使います。オメガω知ってますか？？これを使います。
ｘ^2+x+1＝0を解の公式で解きます。虚数の解がでますがこれをω、ω＾2と置きます。ωオメガです。
x^3-1＝(x-1)(ｘ^2+x+1)＝0
を考えるとω、ω^2はx^3-1＝0の解でもあります
つまり、ω^3＝1、ω^2+ω+1＝0・・・・・(1)
ｘ^2+x+1＝(x-ω)(x-ω^2)ですから
P(x)＝ｘ＾32+ｘ＾22+1とおいて因数定理を使います
P(ω)＝ω＾32+ω＾22+1＝(ω^3)^10*ω^2+(ω^3)^7*ω+1＝ω^2+ω+1＝0
P(x)はx-ωを因数にもつ
P(ω^2)＝ω^64+ω^44+1＝(ω^3)^21*ω+(ω^3)^14*ω^2+1＝ω^2+ω+1＝0
P(x)はx-ω^2を因数にもつ
よってP(x)は(x-ω)(x-ω^2)を因数にもつ
以上からP(x)はｘ^2+x+1＝(x-ω)(x-ω^2)で割り切れる

お礼

大変参考になりました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

hypnotize

式が間違っていると思います。それだけでは誰も答えられません。