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多項式
f(x)=x^3-+x^2-1とする。 多項式f(x)がただ1つの実根αをを持つことを示す。 →f'(x)を求めて、グラフを書いて単調増加関数を示そうとしたのですが、 この関数が単調増加関数ではない気がしてきました。 実根αは有理数でないことを示す。 →αを有理数とおいて背理法を用いればいいのでしょうか?
- jon-td-deen
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f(x)=x^3+x^2-1(だとして話を勧めます)について、 (1) fが唯一の実根を持つこと。 f'(x)=3x^2+2x ですから、fは単調ではありません。 (単調増加なら導関数の値は存在すれば負にはなりません) そこで、f'(x)の正負について調べてみると, -2/3<x<0ではf'(x)<0 x<-2/3, 0<xではf'(x)>0 となります。ここから、-2/3<x<0でfは単調減少、それ以外の部分では単調増加と分かります。 ここで、f(-2/3)=-23/27、f(0)=-1ですから、x<0の部分には根がないことが分かります。 さてここで、f(1)=1です。これと、f(0)=-1、またfが0<xで単調増加であることより、0<x<1にただ1つ根があり、1<xには根がないことが分かります。 以上より、fがだ1つの実根を持つことが言えました。 (微分して、極値をとる候補を求め、増減表を書き、グラフより明らか、としてもよいですが、実際にはこういうステップが含まれています) (2) 実根が有理数でないこと αが有理数であると仮定すると、α=q/p (p,qは互いに素な整数で,pは正)と書ける。 代入して、整理することにより、 (q^3+pq^2-p^3)/(p^3)=0 ですから、q^3+pq^2-p^3=0となります。 p,qは互いに素ですから、少なくとも一方は奇数です。 (a)p,qがともに奇数のとき 奇数+奇数-奇数=奇数なので、特に0ではありません。 (b)pのみが奇数のとき 偶数+偶数-奇数=奇数なので、特に0ではありません。 (c)qのみが奇数のとき 奇数+偶数-偶数=奇数なので、特に0ではありません。 よって、矛盾が生じたので、背理法より、αは有理数でないと分かりました。
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多項式f(x)がただ1つの実根αをを持つことを示す。 →f'(x)を求めて、グラフを書いて単調増加関数を示そうとしたのですが、 C:y=x^3+x^2 L:y=1 とし、上記のC、Lとの交点がただ1つだけ存在する事を証明すると いう方法でも良いです。 y' = 3x^2 + 2x = x(3x+2) = 0 より、x = 0のとき極大値0を取る事から、 Lは常にCの極大値よりも上側を通過する直線なので、 Cとの交点はただ1つしか存在しない事が言えます。 (これは、グラフを描けば明らかですね..) ゆえに、実根はただ1つである事が証明された。 実根αは有理数でないことを示す。 →αを有理数とおいて背理法を用いればいいのでしょうか? そうです。証明の仕方は様々ですが、結局はどのアプローチで証明するにせよ、背理法は欠かせないと思われます。 まず、α = p/q (p,qは互いに素であり,q≠0とする)とおく。 (p/q)^3 + (p/q)^2 - 1 = 0より、 p^3 + p^2q - q^3 = 0 p^2(p+q) = q^3 p + q = q(q/p)^2 となり、 p + qは整数である事から、等式が成立するためには、 (q/p)が整数となる必要があるので、p = 1 すなわち、αが有理数となるならば整数であるはずです。 だが、f(x) = x^3 + x - 1とおくと、 f(0) = -1 , f(1) = 1より、 f(x) = x^3 + x - 1は0 < x < 1の範囲にx軸との交点が少なくとも1つ 存在する事から(グラフより明らか、もしくは数IIIでは中間値の定理により 明らか)x^3 + x - 1=0は0 < x < 1の範囲に少なくとも1つの実根が存在する事となる。 さらに、x^3 + x - 1 = 0はただ1つの実根のみ存在するので 実根はこの範囲にしかない。 しかし、0 < x < 1の範囲には整数解は存在しないので、 矛盾します。
補足
(q/p)が整数となる必要があるので、p = 1 「すなわち、αが有理数となるならば整数であるはずです。」 p=1であると、α=p/qは整数にならないと思うのですが、どうなるのでしょうか?
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