多項式のグラフの拡大と縮小

質問

御世話になっております。

三角関数のグラフでは、関数y=f(x)を

(1)x軸方向に正の定数k倍したグラフの方程式は y=f(x/k)

(2)y軸方向に正の定数k倍したグラフの方程式は y=kf(x)

ですが、皆関数の一般式で表されています。特に(2)のy軸方向の拡大と縮小についてですが…

式が三角関数でなく多項式のときの場合

例えば放物線 y=2x^2+4x+3 をy軸方向に2倍したときの方程式は、どのように変形すればよいのでしょうか。

y=2(2x^2+4x+3)=4x^2+8x+6

でよいのでしょうか。
また、拡大と縮小の証明ですが、元の式の上にある任意の点が、k倍した時の点の座標とから関係式を立てれば良いのでしょうか。

アドバイス宜しくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

考えている通りで大丈夫ですよ。

もう少し、汎用性が高い形で書けば、

y=f(x)でも、f(x,y)=0 (例えば、円の方程式のような形の奴)でも、ある方程式で表されるグラフがあったとき、

そのグラフを、
・x軸の正の方向にp,y軸の正の方向にq平行移動したグラフの式は、
　x-p, y-q を、元の方程式のx,yに代入したもの、
・x軸方向にs倍、y軸方向にt倍拡大した(縮小のときは0<s,t<1)グラフの式は、
　x/s, y/t を、元の方程式のx,yに代入したもの、になる。

と覚えておくと完璧です。(移動の方向、拡大縮小の感覚と逆方向の計算をするところがミソ)

実際に、放物線の平行移動、円の平行移動、三角関数の拡大縮小などで、試して、
あぁ、本当にそうなんだ、と、感じてしまえば、覚えるまでもなく、当たり前になって
しまうかもしれません。(そうなると、とっても、ラッキー)

お礼

ご回答ありがとうございます。
一つ付け加えで、放物線について一度グラフ化してみましたが、所謂二次関数の一般形(y=ax^2+bx+c)を質問の例のように拡大又は縮小したときに、変形後の式を平方完成すると、どう正確に計算したつもりでも頂点の座標が元の式とは異なってしまいます。これはそういうものだと解釈して良いのでしょうか。