数学の問題の答えをお願いします

質問

数学の問題の解答と途上式をお願いします。
次の２次関数をｙ＝a（ｘ－ｐ）＾２＋ｑの形に変形しなさい。
（１）ｙ＝－ｘ＾２－２ｘ－１

次の関数のグラフを（）内に示したように平行移動したとき、そのグラフをあらわす２次関数を求めなさい
（１）ｙ＝－ｘ＾２ （ｘ軸方向に２）
（２）ｙ＝ｘ＾２ （ｙ軸方向に５）

□を埋めてください。
（１）ｙ＝２ｘ＾２－４ （ｙ＝２ｘ＾２）
ｘ軸方向に□
ｙ軸方向に□
頂点の座標（□、□）
軸の方程式□

回答No.2

KEIS050162 · ベストアンサー

ｙ＝a（ｘ－ｐ）＾２＋ｑの形に直すことを、”平方完成”と呼び、二次関数を扱う上で基本中の基本になります。

上記の形に変形することで、二次関数のグラフを書く上でもっとも重要な、頂点の座標を簡単に求めることが出来ます。
例えば、上記の例では、前半部分の（ｘ－ｐ）＾２は、（実数の領域では）必ず０以上になります。（二乗して負になる実数はない）
従って、ａが正ならば、この関数は最も小さい時、即ち（ｘ－ｐ）＾２＝０の時、ｑになります。
（ｘ－ｐ）が０になる時は、ｘ＝ｐのときですから、この関数はｘ＝ｐ、ｙ＝ｑを頂点として下に凸の曲線ということが分かります。
ａが負ならば、曲線の向きが上下逆になり、同じ頂点で上に凸の曲線です。
これが平方完成の基本です。

次に、二次関数を平方完成するに当たって、まずは、ｘの一次の係数－２に着目し、下記の変形を行います。

ｙ＝－ｘ＾２－２ｘ　　　　　　－１　　　（ｘの係数だけに着目し、（X-p)^2の形にします）
ｙ＝－（ｘ＋１）＾２　＋　A　－１　　　（Ａは後で計算しますが、取りあえずｘの一次、二次の係数はこれで解決します）

ここで、（ｘ＋１）＾２　 を展開すると、ｘ＾２＋２ｘ＋１　になるので、＋１だけ余分になりますので、これを引きます（実際には－１で括弧をくくっているので、足すことになりますのでA=1となります。）

ｙ＝－（ｘ＋１）＾２ ＋　１　－１
ｙ＝－（ｘ＋１）＾２　　　（即ち　a=-1、ｐ＝－１、ｑ＝０で、（－１．０）を頂点とする上に凸のグラフ）

次の二つの平行移動は、頂点を移動する、という風に考えてみてください。

１）ｙ＝－ｘ＾２　　…　（０，０）を頂点として下に凸　⇒　頂点を（２，０）に移動する。⇒頂点にそれぞれ２と０を足す。

元の式をｙ＝（ｘ－ｐ０）＾２　＋　ｑ０　　と考えて（ｐ０，ｑ０は両方とも０です）、これをｘ方向に”２”ずらす、のでｐ０に２を足します。
ｙ＝（ｘ－（ｐ０＋２））＾２　＋　（ｑ０＋０）　　（Y座標は動かさないですが、０を足すと思ってください）
ｙ＝（ｘ－２）＾２　　　　　　　（ｐ０、ｑ０は０だったので、結果はこうなります）

２）も上記同様です。

この辺りは教科書の二次関数の項目のどこかに（多分最初の方）に詳しく解説されているはずですので、しっかりと復習されることをお勧めします。丸暗記するのではなく、グラフを書いてみて式の意味、性質などを考えながら復習すると、理解が深まるはずです。

ご参考に。

回答No.1

info22_

(1)
ｙ＝-x^2 -2x-1
= -(x^2+2x+1)
= -(x+1)^2 +0
p=-1,q=0

(1)
ｙ＝-x^2 （ｘ軸方向に２）
→y=-(x-2)^2

(2)
ｙ＝x^2 （ｙ軸方向に５）
→y=x^2 +5

(1)
ｙ＝2x^2 -4 （移動前ｙ＝2x^2）
ｘ軸方向に0
ｙ軸方向に-4
頂点の座標（0,-4）
軸の方程式 x=0

基礎的なことなので教科書で復習しておいて下さい。