数Iの質問です。

質問

二次関数 y=2x²+12x+5 のグラフをx軸方向に〇〇、y軸方向に□□だけ平行移動したグラフは、二点 (-1，0)、(5，24)を通り、その頂点の座標は●●である。

このやり方を教えて下さい。

答えは、
〇〇＝４
□□＝５
●●＝(1、-8)

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

平行移動後の2次関数の式を
y=ax^2+bx+c
と置く。

求めたい2次関数はy=2x^2+12x+5を平行移動したものだから、
a=2
と決まります（←平行移動しただけだから、x^2の前の係数は同じであるから）。

よって求めたい式は、
y=2x^2+bx+c
となります。

題意より、(-1,0)を通るから、
0=2-b+c
b-c=2

また、(5,24)を通るから、
24=50+5b+c
5b+c=-26

連立方程式を解くと
b=-4,c=-6

よって、平行移動後の2次関数は
y=2x^2-4x-6
=2(x^2-2x)-6
=2{(x-1)^2-1}-6
=2(x-1)^2-8
となり、頂点の座標は(1,-8)と求められる。

ここでもとの2次関数の頂点を求めると、
y=2x^2+12x+5
=2(x^2+6x)+5
=2(x+3)^2-18+5
=2(x+3)^2-13
から頂点は(-3,-13)とわかる。

だから頂点は(-3,-13)から(1,-8)に動いたことがわかる。
頂点の移動距離と2次関数の移動距離は同じことだから、
x方向の移動：1-(-3)=4
y方向の移動:-8-(-13)=5
となる。

まとめると、
〇〇＝４
□□＝５
●●＝(1、-8)

回答No.3

asuncion

＞頂点の座標は(-3, 13)

ここに間違いがありました。
頂点の座標は(-3, -13)
が正しいです。
そして、x方向・y方向への移動量が(4, 5)と計算できたので、

＞移動後のグラフは、y=2(x + 3 - 4)^2 - 13 + 5 = 2(x - 1)^2 - 8

移動後のグラフを特に意識しなくても
(-3 + 4, -13 + 5)から

＞頂点の座標●●=(1, -8)

が直接求まりましたね。

回答No.2

asuncion

＞少し疑問に思ったところなのですが、
＞x方向へa, y方向へb移動させると、y=2(x + 3 - a)^2 - 13 + bとなり、
＞aはマイナスでbはプラスになっているのでしょうか？

確かに、疑問に思われそうな点ですね。
グラフを思い描いてみると、わかるかもしれません。
教科書や参考書にも、考え方が書いてあるかもしれません。

回答No.1

asuncion

y=2x^2 + 12x + 5=2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 5
=2(x + 3)^2 - 13
より、頂点の座標は(-3, 13)
x方向へa, y方向へb移動したとすると、
y=2(x + 3 - a)^2 - 13 + b
これが2点(-1, 0), (5, 24)を通るので、
0 = 2(2 - a)^2 - 13 + b …… (1)
24 = 2(8 - a)^2 - 13 + b …… (2)
(2)-(1)より、
(-32 + 8)a + 120 = 24
24a = 96
a = 4
(1)に代入して、b = 5
∴○○=4, □□=5

移動後のグラフは、y=2(x + 3 - 4)^2 - 13 + 5 = 2(x - 1)^2 - 8
頂点の座標●●=(1, -8)

補足

解答ありがとうございます。

少し疑問に思ったところなのですが、x方向へa, y方向へb移動させると、y=2(x + 3 - a)^2 - 13 + bとなり、
aはマイナスでbはプラスになっているのでしょうか？