数学I グラフの平行移動

質問

関数ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフをｘ軸の方向にｐ、ｙ軸の方向にｑだけ平行移動して得られるグラフが表す関数が、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）になる理由が分かりません。教えてください。お願い致します。

回答No.8

noname#44630

#3の疑問に関してです。

なぜＸ，Ｙをｘ，ｙと置き換えてよいのか？

それはＸ，Ｙもｘ，ｙも実数であればどんな値でもとることができるからです。

Ｘ，Ｙは実数だとして文字をおきますよね。そしたら、実数であればどんな値でも取ることができます。

ではｘ，ｙも実数なのですから当然Ｘ，Ｙはｘ，ｙになりえます。このような文字の工夫は今後使うことがありますのでマスターすべしです！！

回答No.7

freedom560

＞私には、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）とｙ＝ｆ（ｘ）が表し方を変えた、移動前のグラフ上の座標をｙ＝ｆ（ｘ）にあてはめたものであって、
「移動前のグラフ上の座標をｙ＝ｆ（ｘ）にあてはめたものであって」というか、正確には「移動後の座標を移動前の座標系に変換したものをｙ＝ｆ（ｘ）にあてはめたもの」でしょうね。

＞ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）がｙ＝ｆ（ｘ）と同じもののような気がしてしまうのです。
よーく見てください。
ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）ってちょっと変な形をしていますが、ちょっと変形すると、
ｙ＝ｆ（ｘ－ｐ）＋ｑ
になっていませんか？？つまり、この２つの式には
△ｙ＝ｆ（ｘ－ｐ）＋ｑ－ｆ（ｘ）
の差があるので同じものではありませんね。

ｙ＝ｆ（ｘ－ｐ）＋ｑ　と　ｙ＝ｆ（ｘ）を見比べてみましょう。ｆ（ｘ）＝０という関数だとしたら、ｆ（ｘ－ｐ）も当然ｆ（ｘ－ｐ）＝０になるので、ｙ＝ｑになります。これをもともとのｙ＝ｆ（ｘ）＝０と比べると、確かにｙ軸方向にｑだけ動いていますね。

皆さん座標変換で説明されているので、ちょっと別の見方で説明してみます。
(1)ｘ軸方向には動かさなくってｙ軸方向だけにｑだけ動かすときを考えます。ｙ軸方向にｑだけうごかすからなんとなくｙ＋ｑ＝ｆ（ｘ）って書きたくなるっていうことですよね？？でも、よくよく考えると、
ｙ＝ｆ（ｘ）
の結果に対してｑ足さなきゃいけないから、
ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｑ
の形にならなきゃいけないんです。そうすると、結果的に
ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ）
の形になってしまうわけです。

(2)ｘ軸にｐ動かすときも同様にすればいいんですが、（まずｘ＝ｆ(-1)（ｙ）と逆関数の形にします）
ｘ＝ｆ(-1)（ｙ）
の結果に対してｐ足さなきゃいけないから、
ｘ＝ｆ(-1)（ｙ）＋ｐ
の形にならなきゃいけないんです。そうすると、結果的に
ｘ－ｐ＝ｆ(-1)（ｙ）
つまり
ｙ＝ｆ（ｘ－ｐ）の形になっているわけです。
（ｘ方向は逆関数がわからなかったら、ちょっと難しいかもしれませんね）

(1)と(2)をあわせるとｙ＝ｆ（ｘ－ｐ）＋ｑになります。

つまり、ｘ－ｐやｙ－ｑになっているのは「＋方向に移動させた後の方程式で＝の反対側に移項してきたため出てきた－」という見方もできるわけです。

まぁ、とりあえず理解するにはNo.6さんが書かれている通り具体例を実際にグラフに書いてみることが一番わかりやすいと思いますよ。

回答No.6

kaduno

＃５です。お礼のコメントを戴いたので続きを書きましょう。

まず。前回の回答で原点は(0,0)のｙ＝ｘという直線を例に挙げました。p=1,q=2と仮に設定した為、この直線がY軸と交わるのは、(x,y)=(0,1)です。
※図を描くとわかると思います。

そこで、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）の問題ですよね。
これを解くと
ｙ－２＝ｘ－１
よって、左辺の２を右辺にもってくると
ｙ＝ｘ＋１
になり、この直線がY軸と交わるのは、(x,y)=(0,1)になります。

これで、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）が平行移動後の式だとわかります。

今はｙ＝ｘという簡単な式でしたが、難しい式でも同じです。

回答No.5

kaduno

ｙ＝ｆ（ｘ）の中で、もっとも簡単な関数を考えましょう。
仮に、ｙ＝ｘという直線を考えた場合。
・原点は0,0
・ｘ軸の方向に適当に１ずらします（ｐ＝１）
・ｙ軸の方向に適当に２ずらします（ｑ＝２)
・そのずらしたあとの直線を描いてみてください

これからｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）の意味が理解出来ると思います。

図のイメージが出来たら、他の回答者さんの書かれている計算式から答えが出ると思います。

お礼

どうもありがとうございます。ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）という式の導き方までは、分かってきたようなきがします。しかし、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）が移動前の式を表しているような気がしてならないのです。ｙ－２＝０、ｘ－１＝０（ですよね？！）　私には、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）とｙ＝ｆ（ｘ）が表し方を変えた、移動前のグラフ上の座標をｙ＝ｆ（ｘ）にあてはめたものであって、ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）がｙ＝ｆ（ｘ）と同じもののような気がしてしまうのです。

回答No.4

tanutanu0818

もとの式が原点(0 0)を通るとし、その点を(p q)に移動したとして、移動後の点をどうしたら原点に戻せるのかを考えます。そうすると、xはpなので-pすると0になり、yはqなので-qすると0になります。このことからy-q=f(x-p)の式が平行移動後の式となるわけです。

お礼

ご回答どうも有難うございます。ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）という式が導き出されるところまでは理解できました。ありがとうございます。
しかし、その式がどうしても移動後ではなく移動前の式に思えてならないのです・・・

回答No.3

noname#44630

関数ｙ＝ｆ（x）x,yは小文字

もともとx(小文字)にあったところからｘ軸の方向にｐだけ動かしたときのx座標をＸ(大文字)とします。

平行移動させたことを考えると、Ｘ＝x＋ｐと現せますよね。x軸方向とは正の向きのことですから。
コレをもともとはxという座標だったので、x＝に書き直すと、x＝Ｘ－ｐとなります。

同様に、考えてｙ＝Ｙ－ｑとなりますよね。

これをｙ＝ｆ（x）のせれぞれにいれると、
Ｙ－ｑ＝ｆ（Ｘ－ｐ）となりますよね。
文字はべつに実数であれば何でもよいので、小文字でも大文字でもよいので、たいてい関数の式を表すときは小文字を用いるため、大文字を小文字に置き換えて、
ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）となります。

文字はべつに実数であれば何でもよいというのは、べつにＡ－ｐ＝ｆ（Ｂ－ｐ）でもｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）と同じだということです。しかし解答には後者を書かなくてはなりません。なぜなら関数はx軸、y軸で最初に与えられているからです。

お礼

詳しい解説をして頂き、どうもありがとうございます。
Ｙ－ｑ＝ｆ（Ｘ－ｐ）が成り立つところまで理解できました。しかし、なぜＸ，Ｙをｘ，ｙと置き換えてよいのかが理解できません。せっかく丁寧に教えて頂いたのにすみません。

回答No.2

repobi

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=414962

先人の質問に目を向けてみるのもいいでしょう。
結構みんな同じようなことを悩んでいるものですよ。。。

No.6とNo.4あたりがいい感じです。。
さすがに良回答って感じです、、、

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=414962

お礼

どうもありがとうございます。No.6の、「Q上の任意の点(x,y)に関する関係式になっているので(1)はQを表す関数である」という事がなかなか理解できません。(1)が成り立つところまでは解るのですが..。すみません。

回答No.1

adinat

点(x,y)をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動させた座標を(X,Y)とおくと、X=x+p,Y=y+qになるのはわかりますよね。

したがって、これをx,yについて変形して、x=X-p、y=Y-qです。もともと点x,yが関数y=f(x)のグラフ上にあったとすると、Y-q=f(X-p)が成り立つことがわかります。すなわち、平行移動した先の点(X,Y)はY-q=f(X-p)という関係式を満たすのです。これがつまり平行移動したグラフを表す関数というわけです。(X,Y)を小文字に置き換えたら知りたかった式と完全に一致します。

なぜマイナスが付くのか、などときどき混乱してしまいますが、この手のグラフの変換の問題は慣れるまではまず、変換後のXY-平面を考えて、X,Yをx,yで表して、それを逆にx,yについて解いて、グラフの式y=f(x)に代入して求める、というのが常道です。ぜひ習得してみてください。

お礼

大変詳しい解説、どうもありがとうございます。
点(x,y)が関数y=f(x)のグラフ上にあったとすると、Y-q=f(X-p)が成り立つというところまで理解ができました。しかし、なぜその公式が移動後のグラフを表す式になるのかが理解できません。どうしてもY-q=f(X-p)が移動前のグラフを表す式に思えてならないのです。
せっかく解説して頂いたのに申し訳ありません。