運動の法則 慣性力

質問

物理初心者です。よろしくお願いします。

問題
電車が駅を発車して右向きで大きさが一定の加速度で運動を始めた。電車の中では糸で吊った質量mのおもりPが鉛直方向から30°傾いたままになった。重力加速度をgとする。
１）糸の張力Tを求めよ。
２）突然糸が切れたとする。おもりはどおような運動をするか。

問一はわかったのですが、問２がわかりません。
解説は、
「電車の加速度をaとすると、a=g/(√３)---A
鉛直から30°の方向に、いつもm(g^2+a^2)^(1/2)の一定の力を受ける。
重力加速度がg'=(g^2+a^2)^(1/2)=2g/√３---B
となって、この方向が下になっているのと同じ。
よって、『鉛直から30°の方向にg'=2g/√３の等加速度直線運動をする』」

この解説について質問なのですが、
○Aのこの式がどこから来たのかわかりません。どの公式からきたのでしょう？Bの重力加速度をどうしてこの方法で求まるのかもわかりません。

○斜め方向に力が働くときのことが少しよくわかってないのですが、
「m(g^2+a^2)^(1/2)」は、x軸方向の力maとy軸方向の力mgから左斜めへの力を計算したのだと思うのですが、x軸の力maは、そもそも実際に働いている力ではないと思うのですが。。。問題を解く上ではわかるのですが、実際に働いてないのにな？？と少し疑問です。

以上、基本的なところだとは思いますが、よろしくお願いします。

回答No.1

cosecant · ベストアンサー

（１）が解けたのなら話は早いです。
まずTcos３０°＝ｇ
　　Tsin３０°＝aですよね。
この二式からa＝ｇtan３０°という式がえられます。
tan３０°＝１/√３なのでa=ｇ/√３がAとなります。

次のm(g^2+a^2)^(1/2）というのは物体から鉛直３０°の方向に加わっている合力の大きさの式です。
三平方の定理をつかって合力の大きさを求めています。

ここでは加速度を出したいのでｍを取っ払い(g^2+a^2)^(1/2）＝ｇ’としています。この式に先ほど求めたa=ｇ/√３を代入してg'=(g^2+a^2)^(1/2)=2g/√３であるBが出てきます。

ｇ’は物体を始点とした、作用線を張力Tとする大きさ2g/√３の加速度ベクトルです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
１）は、鉛直方向の力のつりあいを考えてTcos30°＝ｍｇ
と立式し、T＝2mg/√３としました。
水平方向は慣性力がよくわからなかったので、ここだけでしました。
でも、これは上で解説していただいた所の式と違いますよね？
＞Tcos３０°＝ｇ
＞　　Tsin３０°＝aですよね。
書いていただいた式にはどちらもｍがないですよね？
これはどうしてなのでしょう？上下のつりあいを考えたら、張力の分力と重力がつりあって、Tcos30°＝ｍｇとなると思うのですが。。。？
今回書いていただいたのは、力のつりあいの式ではないのでしょうか？
すみませんが、少しわかりませんでした。

回答No.5

Mr_Holland

＃３です。
　お礼をありがとうございます。

＞慣性力については、なんとなくわかったような気がします。
＞視点が異なると慣性力を考えたり、考えなかったりするということですね。つまり、見ている物体が静止しているか同じように動いているかで異なるということですね。

　厳密に言うと「動いているか」ではなく「加速度運動をしているか」どうかが重要です。
　整理すると次のようになります。

１）　相手の座標系が静止している：　慣性力はない。
２）　相手の座標系が等速直線運動：　慣性力はない。
３）　相手の座標系が加速度運動：　　慣性力が働く。

　この点を忘れないで下さい。とても重要です。

　あと、運動方程式の”ｍ”の有無については、＃４さんの記載の通りです。

お礼

度々の御回答ありがとうございます。
動いているだけでなく、加速度運動しているときですね。
慣性力、難しいなあと思いますが、なんとなく理解しました。
ありがとうございました！

回答No.4

cosecant

たびたびすみません。no1です。
ご指摘の通りTcos30°＝ｍｇです。ｍを付け忘れていました。
それと水平方向のつりあいの式もTsin３０°＝aのｍを付け忘れていました。正しくはTsin３０°＝ｍaです。
混乱をまねいてしまう回答をしてすみませんでした。

お礼

度々御回答いただきまして、ありがとうございました。
やはり、mはいるのですね。よくわかりました。
ありがとうございました！

回答No.3

Mr_Holland

＞○Aのこの式がどこから来たのかわかりません。どの公式からきたのでしょう？Bの重力加速度をどうしてこの方法で求まるのかもわかりません。

　問１が解けたということは、運動方程式がかけたということですよね。
　　(水平方向)　ｍａ＝Ｔsin30°　　　（右向きを正）
　　(鉛直方向)　　０＝Ｔcos30°－ｍｇ（上向きを正）

　この式を連立して、＃１さんの方法で解けば、Ａの式が得られます。

＞○斜め方向に力が働くときのことが少しよくわかってないのですが、
「m(g^2+a^2)^(1/2)」は、x軸方向の力maとy軸方向の力mgから左斜めへの力を計算したのだと思うのですが、x軸の力maは、そもそも実際に働いている力ではないと思うのですが。。。問題を解く上ではわかるのですが、実際に働いてないのにな？？と少し疑問です。

　ここが、この問題のキモの「慣性力」に関わる部分です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%8A%9B

　上記の運動方程式は、電車の外に立っている人から見たものです。
　そして、この運動方程式は、外に対して一定の速度で等速直線運動している人にも同じように書けます。
　しかし、加速度運動している電車内の人から見ると、同じ運動方程式はかけません。糸でつられた質点が静止して見えるので、運動方程式は次のようになります。
　　（水平方向)　０＝Ｔsin30°－Ｆ　（Ｆ：なんか分からないが静止させるために必要な「見かけの力」。）
　　（鉛直方向)　０＝Ｔcos30°－ｍｇ
　上の運動方程式と見比べると、水平方向のものだけ違った形になります。そして、Ｆという訳の分からない「みかけの力」が入ってきますが、これが実は慣性力と呼ばれるもので、
　　Ｆ＝ｍａ
という関係にあり、加速度が大きくなるほど慣性力は大きくなります。
　そして、この見かけの力である慣性力は、「慣性座標系に対して加速度運動を行っている座標系では慣性力が働く」ということになります。

　分かりやすく言えば、エレベータの加減速のときを思い出してください。
　上昇してすぐのときは、上向きに加速していますが、このとき自分の体が重くなったような感じがします。これが慣性力による増加分で、エレベータの加速度をα、人間の質量をｍとしますと、ｍαだけ強く床に押し付けられます。（人間に働く力は、下向きに　ｍ（ｇ＋α）になります。）
　逆に、エレベータが止まる寸前に減速しますが、このときは体がふわっと浮いて軽くなった様な感じがします。（最近の高性能なエレベータでは感じられないかも知れませんが。）　このときには慣性力が逆向きに働き、ｍαだけ床に押し付けられる力が減少します。（人間に働く力は、下向きに　ｍ（ｇ－α）　になります。）

　慣性力は、確かに働いていないように見えるかもしれませんが、加速度運動している中で運動方程式を立てるときには、見かけの力として慣性力が働くものだと理解されるといいと思います。
　ちなみに、この慣性力は、のちのち勉強されると思いますが、等速円運動をしているときの遠心力（見かけの力）と同じものであることが分かると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
慣性力については、なんとなくわかったような気がします。
視点が異なると慣性力を考えたり、考えなかったりするということですね。つまり、見ている物体が静止しているか同じように動いているかで異なるということですね。

それからもう一つの質問
＞○Aのこの式がどこから来たのかわかりません。どの公式からきたのでしょう？Bの重力加速度をどうしてこの方法で求まるのかもわかりません。

についてですが、
＞　この式を連立して、＃１さんの方法で解けば、Ａの式が得られます。
とのことですが、＃１さんのお礼のところにも書かせていただいたのですが、自分のたてた力のつりあいの式は＃１さんが書いてくださったものと異なります。私が書いた式には、＃３さんが書いていただいたのと同じ"m"が入っていますが、＃１さんの式には入っていません。どうしてなんでしょうか？
すみませんが、そこがよくわかりませんでした。

回答No.2

cosecant

たびたびすみません。no1です。
最後の文の訂正で「作用線を張力Tとする」を「作用線を張力Tの延長上の線とする」に直して読んでみてください。