高校物理、慣性系で電車内の振り子の張力と軌跡を求める方法
- 電車が水平右向きに加速度αで進んでいるとき、電車内の質量mの振り子の傾きθ、糸の張力T、およびtanθを求める方法について説明します。
- また、振り子の糸を切った場合、車内と車外から見た重りの動きについても解説します。
- 最後に、車外から見た重りの加速度と軌跡についても詳しく説明します。
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高校物理、慣性系
(問題） 図のように、電車が水平右向きに加速度αで進んでいる。電車内につるされた質量mの振り子がθだけ傾いている。糸の張力Tとtanθを求め、ｍ、ｇ、αで表せ。また、糸を切ると車内でみて、外から見て、重りはどのように動くか？軌跡を示せ。 （私の解答） (前半） 車内について、重りの位置を原点として、上向きを正、右向きを正とする。 車内から見た重りの加速度をaとすると、 ma(x)=Tsinθーｍα、ｍa(y)=Tcosθーｍｇ 重りは静止して見えるから、ma(x)=０、ｍa(y)=０であり、 Tsinθ＝ｍα⇔T=ｍα／sinθ、tanθ＝α／ｇ （後半） 糸を切ると、車内ではma(x)=ーｍα、ma(y)=-mg よって、ｘ＝ーα／２ｔ＾２、ｙ＝－ｇ／２ｔ＾２ ｔを消去して、ｙ＝ｇ／αｘ→傾き９０°－θの直線を描く 車外から見た重りの加速度をa`とする、電車の初速度をv０として、 ma‘(x)=Tsinθ、ｍa‘(y)=Tcosθーｍｇ T＝０より、a‘(x)=０、a‘(y)=ーｇ ｘ＝ｖ０ｔ、ｙ＝－ｇ／２ｔ＾２ よって、ｙ＝ーｇ／（２ｖ０＾２）ｘ＾２ （疑問） 外から電車の重りを見る場合、座標軸自体が動いていくのですが大丈夫なのでしょうか?
- tjag
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＞重りの糸が切れる瞬間の重りの位置に原点を設定し、鉛直上向きにｙ軸、鉛直右向きをx軸を設定すること静止した座標を立てられると思いますが、いかがでしょうか? これだと、少なくとも地球と同じ速度で運動している座標系になります。No2さんの指摘の通りそもそも慣性系ではないのですが、近似的にはガリレイ変換してみていることになります。 （宇宙空間で重力があるところ？の話なのでしょうか） http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4%E5%A4%89%E6%8F%9B アインシュタインは、ガリレイ変換と電磁気学の矛盾から相対性理論を考えたそうです。 この内容は、高校物理の範囲ではないので、ガリレイ変換を考えずに 問題を解くためであれば、地球は静止していることに（近似しておいて)良いです。 No2さんの仰るように受験で時間がないなら、この問題には深入りしない方が良いと思います。
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- 久保 泰臣（@omi3_）
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ベクトルで計算すると T = √(g^2+α^2) tanθ＝α/g 。 >ｍ、ｇ、αで表せ。 とあるので、T=ｍα／sinθは間違い。 車内で見て、 θの直線を描く。 外で見て、 放物線を描く。 問題に初期設定がないので、放物線の軌道は計算不能。 >外から電車の重りを見る場合、座標軸自体が動いていくのですが大丈夫なのでしょうか? 重りにとって、 y方向は、0→ｇ。 ｘ方向は、α→0。 と加速度の変化を受ける、のみなので簡単。 よかったねぇ。 出題者は優しい。 それより 電車は加速しているので、慣性系でないし、 加速度αの座標変換なんて・・・、避けて通るのが吉。
- alwen25
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＞外から電車の重りを見る場合、座標軸自体が動いていくのですが大丈夫なのでしょうか? これ自体が慣性形の意味なのですが。 そもそも、静止している座標軸が定義できるのかを考えてみると 面白いと思います。
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(問題） 図のように、電車が水平右向きに加速度αで進んでいる。電車内につるされた質量mの振り子がθだけ傾いている。糸の張力Tとtanθを求め、ｍ、ｇ、αで表せ。また、糸を切ると車内でみて、外から見て、重りはどのように動くか？軌跡を示せ。 （私の解答） （前半） 車内から見ると 水平にはｍα＝Tsinθ(1)、鉛直にはｍｇ＝Tcosθ(2) (1)＾２＋(2)＾２を考えて、T=ｍ√（α＾２＋ｇ＾２） tanθ＝(1)／(2)＝α／ｇ （後半） 重りが静止していた位置をOとして、水平左向きを正、鉛直下向きを正とすると、 ｘ＝１／２αｔ＾２、ｙ＝１／２ｇｔ＾２ ｔを消去して、ｙ＝ｇ／αｘ⇔tan(π／２－θ）ｘ （疑問） 車外から見るとどうなるかも同様の方法で解きたいのですが、教えてください。 問題集の解答では、車外から見れば、重りは水平方向に動いている状態で糸を切られるので、水平投射に入り、放物線を描いて落ちてゆくと書いてあるのみで、イマイチ説得力に欠けます。
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重りの糸が切れる瞬間の重りの位置に原点を設定し、鉛直上向きにｙ軸、鉛直右向きをx軸を設定すること静止した座標を立てられると思いますが、いかがでしょうか?