速度に比例する力がかかっているのときの走行距離。パート2

質問

おとといくらいに、初速度v_0で運動している質点がαｖ＋βｖの力を受けている時、静止するまでの走行距離Lを求めよ。
と言う問題を質問したものです。

今日勉強していたところ、力がαｖ＋βｖ^3になった問題をやりましたが、運動方程式を立てるので精一杯でした。コレも変数分離でやるのでしょうが、積分できずに困っています。分かる方教えてください。お願いします。
それとも他の方法でやるのでしょうか・・・。

回答No.1

connykelly · ベストアンサー

＞運動方程式を立てるので精一杯でした

パート１で教えて頂いた通りにすれば良いのではないでしょうか。以下はヒントだけ。。。
運動方程式はmdv/dt=-(αv+βv^3)=-v(α+βv^2)となりますね。これを変形すると(1/(v(α+βv^2))dv=-(1/m)dt。1/(v(α+βv^2))を部分分数に分解すると1/(v(α+βv^2))=(1/α)(1/v-βv/(α+βv^2))=(1/α)(1/v-v/(k+v^2))、k=(α/β)となりますね。
∫(1/v)dv=lnv+C1、∫(v/(k+v^2))dvはv^2=xと置いてやると2vdv=dxですから、∫(v/(k+v^2))dv=(1/2)∫(1/(k+x))dx=(1/2)ln(k+x)+C2と積分できます。後は是非ご自分でフォローしてみてください。

お礼

なるほど!!!部分分数ですか!!!ありがとうございました！

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞自分でｖをだしてみたのっですが、どうしても一致しません・・・。
＞ちなみに、ｖ=√[k{v_0^2*e^(-2αt/m) / v_0^2+k-v_0^2*e^(-2αt/m)}]
＞となりました。一致してないですよね・・・。

　一致していると思いますよ。
　得られた式の{v_0^2*e^(-2αt/m) / v_0^2+k-v_0^2*e^(-2αt/m)}の分子分母をv_0^2*e^(-2αt/m)で割ってみてください。
　分子は１になり、分母は(v_0^2+k)e^(2αt/m)/v_0^2-1（＝Ae^(2αt/m)-1）となると思いますが。

お礼

回答ありがとうございました。

一致してたのですね。気づきませんでした（汗
おかげで答えも一致しました。ありがとうございました！

回答No.2

Mr_Holland

＃１さんのおっしゃるとおり、変数分離と部分分数展開して、まずはｖを求めてください。
　合っているかわかりませんが、次のような式が得られると思います。参考にしてください。(α>0,β>0を前提としています。）

　　v＝√(α/β)・1/√{A・exp(2αt/m)-1}
　　ただし、A＝(v_0^2+α/β)/v_0^2

　今回も、パート1と同様、静止（v=0）するためには、無限大の時間がかかることが分かります。

　問題はここからですが、変数変換を繰り返し、ｖを積分してｘを求めます。

(1)ｙ＝A・exp(2αt/m)とおくと、dt＝m/(2α)・dy/yなので、
　　ｘ＝∫vdt＝√(α/β)・∫dt/√(y-1)＝m/{2√(αβ)}∫dy/{y√(y-1)}

(2) ｚ＝√(y-1)とおくと、dy＝2zdz
　　ｘ＝m/√(αβ)∫dz/(z^2+1)

(3) tanθ＝ｚとおくと、dz＝dθ/(cosθ)^2
　　ｘ＝m/√(αβ)∫dθ＝m/√(αβ)・(θ-θ_0)
　　　＝m/√(αβ)・[arctan√{A・exp(2αt/m)-1}-θ_0]

　ここで、t=0のときx=0とすると、
　　θ_0＝arctan√(A-1)＝arctan{√(α/β)/v_0}

　∴ｘ＝m/√(αβ)・[arctan√{A・exp(2αt/m)-1}-arctan√(A-1)]

　したがって、
　　L＝[t→∞]limｘ＝m/√(αβ)・[π/2-arctan{√(α/β)/v_0}]

　こんなに複雑な答えになると自信がありませんが。

お礼

お礼遅れてもうしわけないです。

回答ありがとうございました。
自分でｖをだしてみたのっですが、どうしても一致しません・・・。
ちなみに、ｖ=√[k{v_0^2*e^(-2αt/m) / v_0^2+k-v_0^2*e^(-2αt/m)}]
となりました。一致してないですよね・・・。