因数分解

質問

x＾2(y+z)+y＾2(x+z)+z＾2(y+x)+3xyzを因数分解するのですが、展開して、x＾2y+x＾2z+y＾2z+y＾2x+z＾2x+z＾2y+3xyz
＝x(xy+xz+y＾2+z＾2)+y＾2z+z＾2y+3xyz
となりますが、ここから進めません。アドバイスをお願いします。

回答No.5

noname#231526

まず#1の回答の方の方法でやるとこうなります。

基本方針は、一番次数の低い文字に着目して、その文字の降べきの順に整理します。
ここでは、どの文字も次数は一緒ですので、どの文字に着目しても同じです。
そこで、x に着目して整理してみます。

x^2 の項は、既に整理されている状態で、展開する必要はありませんね。
(y + z)x^2

x の項は、展開して整理して、こうなります。
(y^2 + z^2 + 3yz)x
={ (y + z)^2 + yz} x

x を含まない項は、展開して整理するとこうなります。
(y^2)z + y(z^2) カッコは、^ の範囲を明示するために念のため入れてあります。
=(y + z)yz

　さて、次の方針は、これが x の２次式の因数分解であることから、たすき掛けで因数分解を試みます。

　１　　　ｙ＋ｚ　　　　（ｙ＋ｚ）ｚ
ｙ＋ｚ　　ｙｚ　　　　　　ｙｚ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ｙ＋ｚ　（ｙ＋ｚ）ｙｚ　

　これでめでたく因数分解できました。
　与式 = (x + y + z)( (y + z)x + yz)
= (x + y + z)( xy + yz + zx)

　なお、この因数分解のもっともエレガントな解法は次の通りです。

　与式
= {x(xy + zx) + xyz} + {y(yz + xy) + xyz} + {z(zx + yz) + xyz}
↑この変形がポイントで、
　（１）x^2 のうちの x 一個だけを括弧の中に掛ける。y,zについても同様
　（２）3xyz を各項に１つずつ配分する。
ということをやっています。

= x(xy + yz + zx) + y(xy + yz + zx) + z(xy + yz + zx)
= (x + y + z) (xy + yz + zx)

お礼

ありがとうございます！丁寧に解説して頂いてありがとうございます。