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Qの部分環は体かPIDであることを示せ
表題の通りです。 「Q(有理数体)の部分環は体かPIDであることを示せ」という問題です。 まず、Qの部分環が体ならばそれはQでなくてはならないので、以下QのQでない部分環Rを考えます。 次に、Rの中に絶対値が最小な元aがあればRはZ上aで生成されるPIDとなります。 ですが、Rの中に絶対値最小な元が無い場合の証明が分かりません。 どなたか分かる方、よろしくお願いします。
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- koko_u_
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- koko_u_
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R の中に絶対値最小の元 a ∈ R があるとしよう。a = 0 なら話はおわりだ。 a の代りに -a ∈ R を考えることで、0 < a とする。 a < 1 と仮定すると、a^2 ∈ R かつ a^2 < a となり a の最小性に反する。 よって a >= 1。 a は有理数なので、a = n + b, n ∈ Z (整数) 0 < b < 1 と表わせる。Z ⊆ R だから、b = a - n ∈ R となりやはり矛盾だ。 結局 R に最小な元は存在しない。
お礼
どうやら質問で血迷ったことを書いていたようですね。 回答ありがとうございました。
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お礼
丁寧な回答をしていただき、ありがとうございます。 文句のつけようのない回答に感謝します。