2元4次の因数分解が解けません…（泣）

質問

x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1=0 　(因数分解せよ)

今、解答のなくなってしまった問題集を解いているのですが、この問題だけ解けなくて1時間近く唸っています…。

このまま飛ばしてしまうのも気持ちが悪いので、解けた方がいらっしゃいましたらお暇なときでよいのでご回答ください。よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

> x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1=0 　(因数分解せよ)

=0 がないのが正しいでしょう．

お約束どおり，降べきの順に整理しましょう
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1
= y x^3 - x^2 + (2y-y^2) x + y^2-1

で，困ったときには「こうなればいいな」を勝手にでっち上げて
「都合のいいようにいいように」変形してみて
うまくいったら，その答えが正しいかチェックするという
いわゆる「発見的手法」を使ってみましょう．

ここでもし，因数分解できるのであれば
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
という式で表せるのではないかと考えます．
＃ここで x の一次式の方に係数yをつけていますが
＃これは二次式の方に係数yをつけても構いません
＃が・・，「こうなって欲しい」という願望で
＃このようにしています．
＃この方が簡単になるという「見込み」です
この式を展開した結果の x^2の係数，xの係数，定数項を考えると
A(y)C(y) = y^1 -1・・・定数項
C(y)y+A(y)B(y) = 2y-y^2・・・xの係数
A(y)+B(y)y=-1 ・・・ x^2の係数

xの係数をみると，yが因数なので，A(y)B(y)もyを因数にもつはず．
一方，定数項をみれば A(y)はyを因数にもてない．
よって，B(y)=yB'(y)とおけるはず．
これより，
A(y)+y^2B'(y)=-1
これより，
A(y)がy^2-1の因数であることと定数項はA(y)からしか出てこないので
A(y)=y^2-1
よって，B'(y)=-1
したがって、C(y)y+A(y)B(y) = 2y-y^2より
C(y)y+(y^2-1)y(-1)=2y-y^2
つまり，C(y)=1

以上より
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1 は
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
=( yx + y^2 -1 )(x^2 - yx + 1 )
と因数分解されることが「予想される」．
実際，この式を展開すれば， x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1 が得られる．

とまあ，こういうことを計算用紙にがんがん書くわけです．
で，実際の解答には
さもいきなり思いついたように書くわけです(^^;

この場合，降べきにした後に
因数定理を使うことを考えて，(y^2-1)/yを代入して0になることを
示すとか，
( yx + y^2 -1 )( x^2 - yx + 1 )
= - ( yx + y^2 -1 )( yx -x^2 - 1 )
と考えて (yx)^2 をいきなり元の式に加えて
因数分解を始めるような書き方があると思います．

もちろん，もっときちんとした（というか，トリッキーな，定石的な
ある意味では正統派な）解があるのかもしれません

お礼

すごいですっ!!
おかげさまでスッキリしました☆
これで今夜はぐっすり眠れそうです（笑）

本当にありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

手元の電卓 (HP 49G) で因数分解させてみました.
1個の因数は xy + y^2 - 1 です.

お礼

さっそくの回答ありがとうございます☆
関数電卓で因数分解できるやつってあるんですね。
びっくりしました。