線形、非線型ってどういう意味ですか？

質問

私は、「解があるかないか」って事だと思ってるんですがそんな簡単なことじゃないですかね？
また、「非線形モデル」なんて使い方をすることもありますよね？それも意味がわからないんですが、簡単に教えていただけませんか？
高校卒業程度の数学の知識で理解できるように

回答No.5

aster

線形、非線形は、普通、関数について言われます。線形関数という風に言います。何かの関係が、線形関数で表現できる時、この関係は「線形」だと言います。非線形関数とは、線形関数でない関数です。

線形関数については、一次式というものを考えると分かり易いです。

一次式というのは、

a*x＋b*y＋c*z＋d*u＋e*v＋……　　　「式Ａ」

というような式です。x, y, z, u, v,……は変数で、a, b, c, d, e,……は、実数の係数です。

こういう一次式に対し、関数ｆ（Ｗ）があって、それが、

ｆ（a*x＋b*y＋c*z＋d*u＋e*v＋……）＝a*ｆ(x)＋b*ｆ(y)＋c*ｆ(z)＋d*ｆ(u)＋e*ｆ(v)＋……　　　「式１」

という風に展開できる時、関数ｆ（Ｗ）は、線形関数ということになります。

こんな風にたくさん変数を使わなくとも、二つだけの変数でも構いません。つまり、

ｆ（a*x＋b*y）＝a*ｆ(x)＋b*ｆ(y)　　　「式２」

こういう関係が成り立てば、ｆ（Ｗ）は線形関数です。
何故なら、y＝i*z＋j*u　……z, u は変数、i, j は実数の係数
とすれば、

ｆ（a*x＋b*y）＝a*ｆ(x)＋b*ｆ(y)＝a*ｆ(x)＋bi*ｆ(z)＋bj*ｆ(u)

となり、係数が、bi, bj になっていますが、これは、最初の一次式のなかの変数が三つの場合に当たるからです。こういう風にして、幾つ変数のある一次式でも、最初の二変数の一次式線形関数から造れるので、「式２」で定義できることになります。

線形関数の特徴は、ｎ個の変数の一次式を関数に入れると、そのまま、ｎ個の、一変数を持つ線形関数の和として置き換えることができるということです。

変数x, y, z, u, v, ……を、「式Ａ」のようにすることを、変数の線形結合と言います。こういう結合になっていると、線形関数に代入すると、各変数の関数に分離できるからです。

線形関数から出てくる線形代数というのは、簡単なように見えて、非常に適用範囲が広いです。ヴェクトルの演算や、行列の演算、また微分方程式などでも「線形性」があり、微分方程式が線形だと、解きやすいですが、非線形だと普通解けないので、数値解析します。

非線形モデルというのは、「関係が線形関数で表現されないモデル」で、変数が複数あって、互いに関係し合っている場合などで、この関係が線形でない時、どういう関係なのか、具体的に問題を解こうとすると非常に難しくなり、答えを、数値計算とか、近似値でしか表現できなくなることが多いです。