数１の方程式

質問

問題で、定数mを含む２つの２次方程式の共通解を求めよってのがあったのですがf(a)=0 g(a)=0 ならば f(a)-g(a)=0を利用して解いたのですが、『一般的に２つの方程式をたしたりひいたりしてできるほうていしきの解は、もとの方程式の解であるとは限らない』というのがあるようなんで…　mの値がでたら、これが答えだ。としないで、その答えは題意を満たすか？と確認が必要だと思われるのですが…。
どういうときに確認が必要になってくるのかっていうのがいまいちピント来ません…。
『』の中をみると、連立方程式ってあれは足したり引いたりして求めるわけで、例えばx=1とでたら、それを代入して式が成立するから答えはx=1だ。とする必要があるんでしょうか…？
いまいち理解できないのですが…　これは解が十分条件になっているかどうか？の確認ですか…？
回答よろしくおねがいします(>_<)

回答No.1

fool_ish

> どういうときに確認が必要になってくるのか
同値でないとき．

一般に非零の実数 a と，実数 b に対して
f(x, y)=0 かつ g(x, y)=0
<=> a*f(x, y)+b*g(x, y)=0 かつ g(x, y)=0
であるから，連立方程式の解法は同値変形になっている．このことは f, g の変数の数によらない．

いっぽう，あなたがお書きの
> f(a)=0 g(a)=0 ならば f(a)-g(a)=0
は，一般に逆は成り立たないから，f(a)-g(a)=0 であることは共通解であるための必要条件であるが，一般には十分条件でない．したがって，
問題：f(x)=x^2+x=0 と，g(x)=x^2-2x+1=0 の共通解を求めよ
の解答として
解答1：共通解を a とすると，f(a)-g(a)=3a-1=0 <=> a=1/3
は誤り．a=1/3 は，必要条件に過ぎない．
解答2：共通解を a とする．f(a)=g(a)=0 => f(a)-g(a)=0 より，
f(a)-g(a)=3a-1=0 <=> a=1/3 が必要．逆に a=1/3 のとき，f(a)=0をみたさないから，共通解は存在しない
ならば正答．

あるいは上で書いたように，
(1) 「f(a)-g(a)=3a-1=0 かつ f(a)=0」，
(2) 「f(a)-g(a)=3a-1=0 かつ g(a)=0」とすれば，
(1)と(2)はともに「f(a)=0 かつ g(a)=0」と同値．
解答3：
共通解を a とすると，
f(a)=g(a)=0 <=> f(a)-g(a)=3a-1=0 かつ f(a)=0
である．ここで，右辺をみたす a は存在しない．ゆえに共通解は存在しない．
このように書けば，（記述していることは結局同じだが）同値変形で通せる．

以上のように，いわゆる解の吟味が必要かどうかは，問題によるし，答案の書き方による．

お礼

しばらくパソコンが出来なかったので、お礼をつけるのが遅くなりましたが、分かりやすい回答ありがとうございました(>_<)

始めに出した解というのは必要条件であるだけだから、十分条件の確認が必要なわけですね。
f(x)=0 g(x)=0　→　f(x)-g(x)=0　といっても　3-3=0みたいな場合が考えられるから、0だからといってもf(x)=f(x)=0とは限らないので、確認が必要なわけですね。

回答例を３つ付けていただき、すごい分かりやすかったです、ありがとうございました(>_<)