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熱力学関数
atomicmoleculeの回答
- atomicmolecule
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質問されたので答えておきます。 ハミルトニアンはH(p,q)というふうに(一般化）運動量pと座標変数ｑで表さないと情報が失われてしまいます。つまり dq/dq＝dH(p,q)/dp........(1) dp/dt＝-dH(p,q)/dq..........(2) 何ですが、一般化運動量pは座標の時間微分dq/dtとどう関係しているかわかりません。その関係を与えるのが(1)式です。簡単なデカルト座標の場合には p=mdq/dt=mvですが、そうでない場合もあるわけなのでハミルトニアンをpとｑで書いておかないと解析力学での運動方程式（１）、（２）が使えません。例えば（１）式はdq/dtをpとｑで表す式ですが、これを解いて運動量ｐを位置とdq/dtで表すことも可能です。（簡単な場合には良く知るp=mdq/dtになります。） そこでハミルトニアンを単なるエネルギーだと思ってｐをdq/dtとqで書いたものを代入してしまうと関数としての値は同じでも H(p,q)=H(p(dq/dt,q),q)=H(dq/dt,q) （最後の式はpをdq/dtとqで表してHをdq/dtとqだけの関数にする） と書くともう運動方程式（１）、（２）が立てられません。なぜならハミルトニアン形式は全てをｐ、ｑで書く理論ですから。ｄｑ/dtで書いてしまうとまずいんです。 まさに熱力学でのSをT、Vで書いてE(T,V)と書くと情報が失われるのと同じです。
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お礼
なるほど。イメージのわきやすい力学だとそういうことになるのですね。わざわざ丁寧な解説ありがとうございました。たいへん参考になりました。確かに情報が失われていますね。