複素数における三角不等式

質問

Ｚ1・Ｚ2のバー＋Ｚ1のバー・Ｚ2＝2Ｒｅ(Ｚ1のバー・Ｚ2）は正しくて、
上式の左辺＝2Ｒｅ(Ｚ1・Ｚ2のバー）はどうして正しくないのか納得できません。
Ｚ1やＺ2というのは、どちらも複素数であり、区別しているようです。
2ＲｅＺ＝Ｚ・Ｚのバー　というのは納得できるのですが・・・。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

No.1氏の補足です

極形式で
Ｚ1=r1*{cos(theta1)+i*sin(theta1)}
Ｚ2=r2*{cos(theta2)+i*sin(theta2)}
と書くと，左辺の各項は
Z1・(Z2*)=r1*r2*{cos(theta1-theta2)+i*sin(theta1-theta2)} ・・・(1)
(Z1*)・Z2=r1*r2*{cos(theta2-theta1)+i*sin(theta2-theta1)}=r1*r2*{cos(theta1-theta2)-i*sin(theta1-theta2)} ・・・(2)
と書けます．（cos(-theta)=cos(theta), sin(-theta)=-sin(theta) より）
すると左辺はこの２項の和で，
(左辺)=2*r1*r2*cos(theta1-theta2)
これが
(1)や(2)の実部=r1*r2*cos(theta1-theta2) の2倍に等しいことから
No.1氏の結論の通りです．

お礼

この説明、かなりわかりやすかったです。ノートに書き写して考えると、なおさらです。数学のできる人ってうらやましい。ゼミの数学はわからないことばかりで、泣いたりしてます。頭悪いのに納得してからじゃないと先に進めないんです。また、ひっかかった時はよろしくおねがいします。ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

申し訳ありません．書き忘れて投稿してしまい，追加です，
第1項 Z1・(Z2*) の複素共役が第2項 (Z1*)・Z2 なので，実部の定義 Re(Z)=（Z+(Z*))/2 により，Z=Z1・(Z2*) とおいても Z=(Z1*)・Z2 とおいても同じです．
2倍したものが示すべき式というわけで，これが一番明快でしょうかね．
筆者は図形的意味からNo.2のようなやり方もかなり好きですが．

お礼

最初は私自身、この考えで、「どっちも言えるんじゃないかな？」と思ったのですが、同じゼミの発表者がすんなりプリント通りの答えを言って、先生も流してしまったので、納得できず、家で悩んでたのです。回答No.3の3行目のようにおいて実部の定義に代入すると、浅はかすぎるような気もして自信がなく、ゼミでは聞けなかったのです。いつもこんな感じです・・・。また何かひっかかったら是非おねがいします。ありがとうございました。

回答No.1

guiter

正しいですよ。

バーを Z1* などと表すことにすると、
　Z1・(Z2*) + (Z1*)・Z2 = 2Re{(Z1*)・Z2} = 2Re{Z1・(Z2*)}
です。

お礼

私が謎に思ってたところをずばり「正しい」と言ってもらえて、うれしかったです。ゼミの授業のプリントでは片方だけが書いてあって、納得できず、定義なのかな・・・、じゃ、暗記しないといけないのかな・・・。と暗い気持ちでした。納得して先に進める勉強ができるって幸せ。また悩んだ時は助けて下さい、おねがいします。ありがとうございました。