円周率が定数であることの証明

質問

円周率πが3.14...と半径によらず一定であることの証明って、どうすればよいのでしょうか。

定義は
π＝【円周の長さ】/【直径(2r)】
ですよね。
直径が既知だとそて、円周の長さも求めなくてはならないとき、半径rの円とその円に内接する正n角形（周長＝Ln）を考えた際に、
円周の長さが【lim（n→∞)Ln】で近似されることも前段階として示す必要がある気がします。
つまり、
(ⅰ)　lim(n→∞)Lnが存在すること（＝収束すること？）
(ⅱ)　lim(n→∞)Lnが円周の長さとして適当か。
ってことなんですけど・・・。
(ⅰ)も(ⅱ)も感覚的には収束すると思うし、適当だと思うんですけどうまく証明ができません。

最終的にはπが定数であることの証明がしたいのですが、その前段階のことも気になりました。
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

quantum2000 · ベストアンサー

円周率が定数であることを示すのには，極限の計算を考えなくても，
一般的に「相似形における相似比」の考え方でも説明できる気もします．

つまり，「正方形」でも「正三角形」でも「円」でも，
「相似な図形」については，その対応する部分の長さの比は一定ですから，例えば，
「正方形における一辺の長さと対角線の長さの比」も
「正三角形における一辺の長さと全周の長さの比」も
「円における直径の長さと円周の長さの比」も，
これらはすべて「一定」になる訳です．
（具体的には，それぞれの比は １：√２ ，１：３ ，１：π）

このような説明では，不十分でしょうか？

お礼

簡単に考えれば良いのですね。
参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.5

tendy1293

テストの回答に使う気ですね？

Lnが単調増加で上限があるので収束する。
が回答ですね。
Lnでの単調増加の証明は難しいのでL2^m(n=2^m)で考えましょう。
上限の存在は分かりますよね？

（）は単調増加より、近似精度がよくなるってことでよいのでは？

Ｑ２は相似比より明らか。（三角形の相似比を考えるだけの問題）

明日のテスト、がんばりましょう

回答No.4

yumisamisiidesu

詳細は割愛しますが
解析学では
πという定数をcos(x)=0の([0,2]の範囲の)解の2倍として定義します.
それから後で円の種類によらず(つまり中心の位置、半径が任意で)、円周＝2πr を示してます.

回答No.3

a-saitoh

ほぼ公理なので証明不可能だと思いますよ。

対角線の長さがxの正n角形の周長Lnを考えると、xとLnの比が常に一定であるってのもすでにユークリッド的な空間でしか成り立ちませんし。

回答No.1

zk43

内接正多角形とか外接正多角形の周の長さの極限として円周の長さを求
めるとすると、円の半径がｒのときの内接正多角形・外接正多角形の周
の長さは、円の半径が１の時の内接正多角形・外接正多角形の周の長さ
のｒ倍になっているので（三角形の相似からわかる）、内接正多角形・
外接正多角形の周の長さと半径の比は一定である。極限をとって考えて
もこの比は変わらず、半径と円周の長さは比例する。

積分を知っていれば、変数変換により、円周の長さと半径が比例するこ
とがわかる。

円周率の定義（いくつかある）は意外と知らないで、何となく通過して
しまっていることが多く、最近では円周率は約３などという悲しい事態
になっているので、この辺の基礎は結構重要と思います。