定義式を使っての級数の収束半径の求め方は?

質問

Σ[k=0..∞]k^k(x-3)^k/k!の収束半径を定義式を使って求めています。
[解]
X=x-3として収束半径の定義式から
r=1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)∈R;k≧n}=1/lim[n→∞]sup{k/k!^(1/k)∈R;k≧n}
でこれから
スターリングの公式n!≒√(2πn)n^n/e^nを試してみました。
r=1/lim[n→∞]sup{k/k!^(1/k)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{k/(√(2πk)k^k/e^k)^(1/k)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{k/((2πk)^(1/(2k))k/e)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{1/((2πk)^(1/(2k))/e)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{e/(2πk)^(1/(2k))∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]∞ (∵t:=(2πk)^(1/(2k))と置き対数を採るとlnt=1/(2k)ln(2πk)
1/tdt/dk=-2/(4k^2)ln(2πk)+1/(2k)2π/(2πk)
1/tdt/dk=-1/(2k^2)ln(2πk)+1/(2k^2)
dt/dk=(2πk)^(1/(2k))(1/(2k^2)-1/(2k^2)ln(2πk))
dt/dk=(2πk)^(1/(2k))・1/(2k^2)(1-ln(2πk))
ここで1-ln(2πk)<0より(2πk)^(1/(2k))は減少数列。
よってe/(2πk)^(1/(2k))は増加数列)
=0

となってしまいます。正解はr=eだと思います。
何を間違っているのでしょうか?

回答No.2

koko_u_

>としますと定理ですね。
>冪級数Σ[n=1..∞]a_nx^nの収束半径をrとすると1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)∈Rの時,
>r=1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)となる。
>という事ですね。

「極限が存在すれば、その収束半径は r」というだけで、(極限が存在するか否かも含めて)必ずしも逆は成立しません。

お礼

大変感謝致します。

> 「極限が存在すれば、その収束半径は r」というだけで、(極限が存在するか否かも
> 含めて)必ずしも逆は成立しません。

つまり,
1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)∈Rならばその極限値が収束半径になるのですね。
今,別の公式で1/eが収束半径と求まりましたよね。
しかし,1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)ではどうしても1/eとなりません。

スターリングの公式n!≒√(2πn)n^n/e^nを試してみました。
r=1/lim[n→∞]sup{k/k!^(1/k)∈R;k≧n}
：
=0

では何処が間違っているのでしょうか?

回答No.1

koko_u_

>X=x-3として収束半径の定義式から
それは定義ではありません。

>正解はr=eだと思います。
何故ですか？

はたして収束半径が e だとすると X = 1 で該当の級数は収束するということですね。
Σk^k/k! は収束しそうですか？

お礼

早速のレス有難うございます。

> >X=x-3として収束半径の定義式から
> それは定義ではありません。

えっ? 定義ではないんですか?
としますと定理ですね。
冪級数Σ[n=1..∞]a_nx^nの収束半径をrとすると1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)∈Rの時,
r=1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)となる。
という事ですね。

>>正解はr=eだと思います。
> 何故ですか？

r=1/eでした。
定理r=1/lim[k→∞](k+1)^(k+1)/(k+1)!/k^k/k!から
r=1/lim[k→∞](k+1)^(k+1)/(k+1)!/k^k/k!=1/lim[k→∞](1+1/k)^k=1/e
となりました。

1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)でも1/eとなる筈なのですが…