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数列の和の公式
180915の回答
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数学が好きな中学生です。 初項a,公比rの等比数列がなぜa_n=ar^(n-1)になるのかというのは、 実際にnまでの値を作ってみると、 anはaにrをn-1回掛けてやっているので、 n 1 2 3 … n n-1 0 1 2 … n-1 an a a*r a*r^2 … a*r^(n-1) となって、anの値はnが1小さいときのr倍になってますね。 ここでn-1の値はanの値をarを1としたときに対応するわけですから、 anにしたいときもn-1で考えます。 同じように、n=2,3,4…にすると、 nがひとつずれているのでn-1も1ずらしてn-2にしてやると… n 2 3 4 … n n-2 0 1 2 … n-1 an a a*r a*r^2 … a*r^(n-1) となり、ちゃんと対応しますね。 だからn-1の部分がn-2になるのです。 (厳密でなくてすいません。) 階差数列というのは差を取ってできているものです。 例えば初項2、交差3の等差数列になるとすれば、 元の階差数列は a_n=5 7 12 20 31 45 62 b_n= 2 5 8 11 14 17 とこんな感じになります。 ここで見てわかるのが、a_nのある1項(例えば7)を取ったときに、 それに対応するb_nの項(5)を足すとa_n+1(7+5=12)となります。 だから、次々に対応していくb_nを足していくとa_n+1が求まるのです。 これを一般化したものがa_n=a_1+Σ(k=1~n-1)が成り立つのです。 (a_1にb_1を足すとa_2になり、a_2にb_2を足すとa_3になる感じです。 n-1までしか足さないのは最後に求めるのがa_n+1の1個手前のa_nだからですね。) もう後は簡単です。 n=2,3,4…と(n=1,2,3…から)1ずつ増えているので最後も1個増えて、 元の数列でa_n+1のところも足さなくてはならなくなったので、 b_nが追加されてΣ(K=2~n)となるのです。 わかりにくい説明ですいません。
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