場合分けについて

質問

１つ例をあげてみますが…
|x+2|=4の時、絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合わけしますが…　その後、正のときx=2と答えがでたら、その答えはx+2≧0すなわちx≧-2を満たすと確認するのはどうしてなのでしょうか…？

確かに、-2以上の時と定義域が決められているので、それを満たしてなかったら不適ということになりますよね…

そもそも、場合分けして、絶対値の中身が正ならx+2=4としたときのxが答えだっていうのは当たり前のような気がするのですが…　確認をするということは、場合わけをして解を出したとしても、その解が場合分けの条件の範囲を満たさないときがあるということでしょうか？？

すみません、変な質問で…
問題を解く上では、「場合分けをした」ならば「それぞれの解が場合分けの条件を満たしているか必ず確認する」
と覚えておけばいいでしょうか…？

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>絶対値の中身が正ならx+2=4としたときのxが答えだっていうのは当たり前
そう。

「絶対値の中身が正なら」答えが求まることがわかったので、この前提条件 x ≧ -2 を確認することで、前提が取れて x = 2 が答えとわかるという論法です。

>場合わけをして解を出したとしても、その解が場合分けの条件の範囲を満たさないときがあるということでしょうか？？
この場合は見た目でわかってしまいますが、|x+2| = -4 なら
x ≧ -2 のとき x + 2 = -4 すなわち x = -6 ですが、当然これは方程式の解ではありません。

お礼

なるほど！ありがとうございました。いまいち納得いってなかったことがうまく理解できました。
前提条件下で成り立つということだから、その前提の中にあると確認することで、前提がとれるということですね。
もし～ならば～。というときの条件内に含まれていることを確認して、「もし」をとることができるということですね。

回答No.5

kkkk2222

＃２様の回答について

＞不等号の場合は、場合わけをしたほうが無難でしょう。

受験時代に、絶対値に関する最大の関心事でした。

結論はＦ（ｘ、ｙ）が全てのｘ、ｙに対して、Ｆ（ｘ、ｙ）＜０　でないならば

|Ｇ（ｘ、ｙ）| ≦Ｆ（ｘ、ｙ）は

ーＦ（ｘ、ｙ）≦Ｇ（ｘ、ｙ）≦Ｆ（ｘ、ｙ）

ただ、これは演繹ではなく、帰納的に出した結論です。
当時、このタイプを幾つか調べましたが悉くＯＫでした。
ひっかかるのは、参考書類を調査しましたが、Ｆ（ｘ、ｙ）＝Ａと記述したものが一冊あっただけでした。Ａが何を示すかは不明でしたが、なんとなく変数のにおいがしました。未だに謎です。単に＜場合わけをしたくない）一心から生じた解法です。思いつくままに一例をあげて終ります。

　　　　　　　　　　　|ｘ＾２－ｙ＾２|≦（－２ｘ－２ｙ－２）ならば
（２ｘ＋２ｙ＋２）≦ｘ＾２－ｙ＾２≦（－２ｘ－２ｙ－２）としてよい

回答No.4

y_akkie

#3です。すみません、誤りを発見しましたので訂正します。

>また、√(x-3)(x-4)=√2のような類の問題の場合も、本来ならば...
√(x-3)×√(x-4)=√2の間違いでした…。

回答No.3

y_akkie

記述式の問題では、厳密的な論法で解答を記述しなければなりませんが、センター試験や空欄に答えを埋めるような問題の場合のみに、ちょっとした裏技にもなりますね..（要するに計算量を少し削減できる）

例えば、√x-3 = √2x-7の方程式も解の成立条件として、x-3>0 2x-7>0の不等式を計算して範囲を求めてから方程式を解かなければなりませんが、答えのみを求める場合はx-3=2x-7の方程式を解いてから、x-3(2x-7でも可能)が正になるかどうかを確かめれば良いだけですよね。

また、√(x-3)(x-4)=√2のような類の問題の場合も、本来ならば、解の成立条件としての(x-3)(x-4)>0の不等式を解かなければなりませんが、実際には方程式を解いてから、(x-3)（(x-4)でも可能）が正になるかどうかを確認すれば良いだけですよね。

まあ、質問者様の解答も含め以上のような直感的で自明な事柄においても、きちんと論理的に把握できるような形式で記述する事が要求されていると考えられるので、その直感的に把握した部分についてもきちんと論理的に記述しないといけないと思います。（その辺はちょっと自信がありませんので、あくまでも自論という事で…；）しかし、それを記述するために費やされる労力の事を考えると、成立条件の範囲内に解が存在しているかどうかを示した方が、シンプルで効率の良い論法になるからだと思います。

回答No.2

larme001

等式の場合は、特に場合わけの定義域を考えなくてもおそらく成立すると思います。ただし、例のような場合で右辺にxが入っていたりする場合は駄目です。
不等号の場合は、場合わけをしたほうが無難でしょう。

なぜ、成立するのか、、、といわれるとうまく説明できないのですが、
1の回答者さんが述べているのは右辺が負となっているので、この場合は解が存在しえません。もし｜A|=B でB≧0の場合は、右辺、左辺ともに正ですので、両辺を二乗しても同値のはずですから、A^2=B^2を解けば良いはずです。この変形では、２解の定義域に条件はつきませんので、おそらく問題ないとおもいます。

結局、｜A|=B ⇔±A=B　としてもおそらくいいでしょう（Bが0か正の整数）。ただ、機械的にこうするのではなくて、本来絶対値を外せるのは、絶対値の中が正のときと負のとき、という限定条件下でやっているので、厳密にはその条件を確かに満たすということを確認する必要が歩きもします。ただ、「成立しない場合はない」と言いきれるかといえば、分かりかねますので、、、高校でどう扱うのか少し不明です。分かりにくいなら初めはきちんと場合わけをするべきでしょう。不等号であったり、他の条件があったり、Bの部分に変数が含まれたりする場合に機械的に覚えているだけだと間違える元となります。