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背理法
ataokoroinonaの回答
- ataokoroinona
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x^3+x+1=0 が有理数の解を持つと仮定する x=q/p (q,pは互いに素な整数) とおける 式に代入して整理すると p^3=-q(p^2+q^2) ...(1) ここでqが素因数nを持つと仮定すると q=an とおけ， p^3=-an(p^2+q^2) よってp^3は素因数nを持つ nは素数なので，pも素因数nを持つ すると，pもqも素因数nを持つことになり，pとqが互いに素であることに矛盾する よってqは素因数を持たないので q=±1 q=1のとき(1)に代入すると p^3=-p^2-1 p=-1-1/p^2 pは整数なので，右辺の1/p^2が整数になるためにはp=±1でなければならないが，これは上の等式を成り立たせない q=-1の時も同様 よっていずれの場合も矛盾が生じるので，x^3+x+1=0は有理解を持たない
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