楕円錐の、斜め断面は、円？

質問

円錐を斜めに切ると、その断面は円錐曲線に従って、
一般的には、楕円になりますよね。

逆に、斜めに切った時に、その断面を”円”になるのは、
どの様な”錐体”になるのでしょうか？

頭の中では、楕円錐を斜めに切ればできる様にも思えるのですが、
模型を作って切断してみても、はっきりしません。

数学的な疑問では無いのですが、
斜めの面に、面に平行では無い位置から、
”丸い影”を落とす方法が無いのか、考えています。

数学的なものでなくても、構いませんので、教えて下さい。

回答No.1

N64 · ベストアンサー

円錐を斜めに切ると、楕円になりますね（A）。その楕円Aの長軸の方向と同じ方向に、円錐の底面をつぶして（その方向の直径だけを短くして）ゆきます。すると、楕円Aの長軸が次第に短くなり、ちょうど円になったところで止めれば、その時のつぶれた円錐すなわち楕円錐が、求めていた形ではないかな、と思います。

お礼

ありがとうございます。

模型を作り直して見てみると、言われている様な楕円錐が、できたような感じです。

こう言うものの”公式”と言うか、”証明”と言うか。
関係する式なんてものは、あるのでしょうか。

回答No.3

N64

>こう言うものの”公式”と言うか、”証明”と言うか。
>関係する式なんてものは、あるのでしょうか。
数式は面倒なので、頭の中でイメージしましたが、
まず、適当な円錐を作ります。
この円錐の頂点を、この円錐の底面（円ですね。）に、平行な方向に移動します、すると、この円錐は斜めの円錐（斜円錐？）になります。
この、新しい斜円錐をナイフで切断します。切断の方法は、斜円錐の軸に垂直な方向に切断します。
すると、今度の切断面は楕円になります。
こうしてできた楕円錐が、求めるものではないかなー、と思います。

お礼

ありがとうございます。

言われている方法と、全く反対の方向から、
作図できるのでは無いかと言われ、
確認してもらっています。

回答No.2

age_momo

実験するなら円盤を傾けて真上からライトで照らして床にどのような図形が映し出されるかを
見てみるべきでしょうね。

少し一般性が無くなりますが適当な数字を当てはめて上記のことを検証してみます。
(変数ではとてもやっていられません）

今、直行して長さがそれぞれ1のベクトルOP(1/√2,0,1/√2),OQ(0,1,0)を考える。
この時、OC(0,0,1)を中心とした半径1の円はOC+cosθOP+sinθOQで表すことができる。
今、3OCからこの円の一点を通る直線を引きxy平面との交点を考えると

3OC+h(OC+cosθOP+sinθOQ-3OC)=hcosθOP+hsinθOQ+(3-2h)OC

z座標に注目すると

hcosθ/√2+(3-2h)=0
3=h(2-cosθ/√2)
h=3/(2-cosθ/√2)=3√2/(2√2-cosθ)

よって図形のx座標、y座標は

x=hcosθ/√2=3cosθ/(2√2-cosθ)
cosθ=2x√2/(3+x)
cos^2θ={2x√2/(3+x)}^2=8x^2/(3+x)^2
y=hsinθ=3√2sinθ/(2√2-cosθ)
sinθ=(2√2-cosθ)y/3√2=(2√2-2x√2/(3+x))y/3√2=2{1-x/(3+x)}y/3
sin^2θ=4y^2/9*(1-2x/(3+x)+x^2/(3+x)^2}

8x^2/(3+x)^2+4y^2/9-8xy^2/9(3+x)+4x^2y^2/9(3+x)^2=1
72x^2+4y^2(3+x)^2-8xy^2(3+x)+4x^2y^2=9(3+x)^2
y^2(36+24x+4x^2-24x-8x^2+4x^2)+x^2(72-9)-54x=63x^2-54x+36y^2=81
7x^2-6x+4y^2=9
7(x-3/7)^2+4y^2=9+9/7=72/7
49/72*(x-3/7)^2+7/18*y^2=1

で楕円の方程式になります。ただし、頂点は(0,0,3)にあって楕円の中心は(3/7,0,0)に
ありますから少し偏った楕円錐になります。(中心の真上に頂点が無いという事）
これをx軸正方向から角度45°斜め下に切れば円形になると思われます。

お礼

ありがとうございます。

聞いておきながら、数式がわからない状態です・・・。
中心がずれると言うのも、理解できてないです。
ごめんなさい。

ただ、１０円玉を斜めにして見てみて、納得しました。