マイナス×マイナス

質問

マイナス×マイナス＝プラス　になることを、かんたんな事例で子どもに説明したいのですが。具体的に教えてください。

回答No.9

dragon-2 · ベストアンサー

中学では以下のように教えています。
　東西に通じる道路を、時速５ｋｍで東の方向へ進み、ある時刻に地点Ｏ（基準点）を通過した。
　１）その３時間後には、どこにいるだろうか。
　２）その３時間前には、どこにいただろうか。
　ここで、地点Ｏから東の方向を「＋」、西の方向を「－」
　　　　　未来（何時間後）を「＋」、過去（何時間前）を「－」とします。
道のりは速度×時間ですから３時間後から１時間ずつさかのぼると
　（＋５）×（＋３）＝＋１５：Ｏから東へ１５ｋｍの地点
　（＋５）×（＋２）＝＋１０：Ｏから東へ１０ｋｍの地点
　（＋５）×（＋１）＝＋５　：Ｏから東へ５ｋｍの地点
　（＋５）×０＝０　　　　　：地点Ｏ
　（＋５）×（－１）＝－５　：Ｏから西へ５ｋｍの地点
　（＋５）×（－２）＝－１０：Ｏから西へ１０ｋｍの地点
　（＋５）×（－３）＝－１５：Ｏから西へ１５ｋｍの地点
で、「＋」×「－」が「－」になることを理解させます。
　次に同問で、時速５ｋｍで西へ進む場合を考えます。
同様にして
　（－５）×（＋３）＝－１５：Ｏから西へ１５ｋｍの地点
　（－５）×（＋２）＝－１０：Ｏから西へ１０ｋｍの地点
　（－５）×（＋１）＝－５　：Ｏから西へ５ｋｍの地点
　（－５）×０＝０　　　　　：地点Ｏ
　（－５）×（－１）＝＋５　：Ｏから東へ５ｋｍの地点
　（－５）×（－２）＝＋１０：Ｏから東へ１０ｋｍの地点
　（－５）×（－３）＝＋１５：Ｏから東へ１５ｋｍの地点
というように正の数負の数の乗法の最初の説明となります。
ここで、「＋」×「＋」、「＋」×「－」、「－」×「＋」、「－」×「－」のまとめをします。
　中学１年の５月ごろの学習内容です。参考になればよいのですが

お礼

なるほど。
私には一番しっくりきました。
中学校ではこうやって習うんですね。
でも、それにしても、マイナス１個のリンゴはどうなったのか。
マイナス２回返済した借金はどうなったのかが、気になるのでした。
「縁なき衆生は度しがたし」といったところでしょうか。
すみません。

回答No.12

osapi124

まだ締め切ってなかったんですね。私もどうなってるか興味ありました～。
それで、こんなの考えましたが、お子さんの学年にもよりますね。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

●今立っているところが「ゼロ」だとする。

●体の正面を「プラス」、背面を「マイナス」とする。

●前進を「プラス」、後退を「マイナス」とする。

　　正面（＋）を向いて前進（＋）するとプラスの方向。
　　正面（＋）を向いて後退（－）するとマイナスの方向。

　　背面に振り返って（－）前進（＋）するとマイナスの方向。
　　背面に振り返って（－）後退（－）するとプラスの方向。

これと同じなんだよって。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

わかりやすい方法はないかな～なんてず～っと考えちゃってました。
これが私の限界です。だめかな？すいませ～～ん！！
うちの息子に説明したら「わかんない」って言ってました（笑）

ｏｓａｐｉ１２４でした。

お礼

ありがとうございます。
これだと、たし算もひき算もかけ算も説明できそうですね。
「振り返って」というところが、マイナスって感じでいいですね。
私は、今年になってからこのコーナーを知ったのですが、みなさんがこんなに一生懸命考えてくださって感激です。
答の発見とともに、人情の発見もありました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.11

stomachman

●「叱られないと勉強しない」の対偶は「勉強すると叱られる」というよりも、「叱られないと勉強しない筈のstomachmanが勉強してやがる。さては叱られたな。」っていう風に使います。

●0.33333.... については下記URLをご参照ください。熱戦まだ終わってないみたいです。

まるで余談ですが、でもtun様が振ったんですからね。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=21512

回答No.10

stomachman

「お礼」を拝見いたしました。
　面積で考える場合、辺の長さはいつもプラス。面積もプラスです。つまり、マイナスの数、というものがまだわかっていないんだから、x+(-2)というのは「2を引く」という意味なんだ、という事を前提にして、「マイナス」を全部引き算で考える。そして、引き算の規則から、マイナスの数の性質を探っていくんです。この段階では、マイナスの面積(-S)（つまり足すと、Sを引いたことになる）というものを導入すると却って混乱しそうですね。
　で、マイナスの数が分かってきて、それを実体として感じられるようになったら、「ではマイナスの数も一人前の数として扱おう」ってわけで、初めて「数直線」というものが可能になる。
(-2)×3=-6というマイナスの面積を持つ「反長方形」の話を導入するのはここからです。今はまだその段階じゃない。

　stomachmanとしては、足し算・引き算の規則を例外なく広げていく。例外は作りたくない。という発想にこそ数学の面白さを感じます。
　至る所に、算数＝規則だ憶えろ、に陥ってしまう罠がある。あるいは神秘主義に陥る罠があります。実際、歴史的にも「負の数は神の創造された実在か、悪魔の所作か。ゼロは地獄の門番か」なんて議論が盛んにあったし、虚数が出てきたときにも同じような議論がなされたのだそうです。「正positive」「負negative」　という字面もその連想を誘います。今の日本でも、ぼんやりながら、負の数はホントの数じゃなくて「準数」のようなもの、と捉えている方は多いんじゃなかろうか。「見える物、感じられるものだけについてしか考えられない」ということになる、ってのは大げさですけど。

お礼

今朝、全部消えた！と思っていたお礼が掲載されていました。よかった。
そうですね。stomachmanさんの前提では、まだマイナスを知らない子どもに教えようという話でしたね。
私は数学の門外漢だからでしょうが、なんか数学には割り切れない気がして、「思想」の一種なんじゃないかと感じてしまいます。
大学のときに１÷３＝0.3333333333…で、これに３をかけると0.9999999…で１にもどらないじゃないか！　って１週間ほど寝れないくらい考えたんですが、どうしてもわからず、数学科の学生に聞いたんです。
そしたら、「あっ、それは同じもんです。１＝0.99999…　ってことになっているんです」と言われました。
「ってことになっている」ってところに、イカガワシサを感じました。
で、いまだに納得してません。
とりあえず、お礼に代えまして。

回答No.8

noname#68284

国語的には結構子供でも理解してますよね、こういうことって。

例：好き(肯定)
　　好きじゃない(肯定×否定)＝(否定)
　　好きじゃなくない(肯定×否定×否定)＝(否定)
　　嫌い(否定)
　　嫌いじゃない(否定×否定)＝(肯定)
　　嫌いじゃなくない(否定×否定×否定)＝(肯定)

でもどうして算数・数学的になると判らないのでしょうね？
私も、具体的には理解できていないかも？
考えてしまいました。良い質問だと思います。

お礼

それで思い出しましたけど、
「ＡならばＢ」が真だとすると、その対偶「ノットＢならばノットＡ」も真である、というのがありましたね。
だから、「勉強しないから怒られる」の対偶は「怒られないから勉強する」なんだと。
その論でいくと「怒られないと勉強しない」の対偶は「勉強すると怒られる」なのか（？）なんて。
すいません。関係ないですね。

回答No.7

taukun

みなさん、考えすぎではないでしょうか？
相手は子供なんですから、子供の目線で考えてみてはどうでしょう。(あくまで子供ということで小学校レベルにしてあります。)
線を引く、というものがありましたが、そこを少し変えればおもしろいものができました。子供を実際に歩かせてみるんです。プラスは単純に子供が”向いている方向に歩く”、マイナスは”後ろ(180度)を向き歩く”、ということです。
プラスとマイナスを逆にしても問題はないですが、一応プラスを前(横線だと右)にしたほうがあとあと便利だと思います。
数字は普通に計算します。(これは当然ですね)
子供は頭を”無理”に使わせるんじゃなくて、実際に自分で経験させたほうが絶対に勉強になります。

回答No.6

Naka

◆Naka◆
確かに子供には「感覚」と「イメージ」で把握させないと、頭が混乱してしまいますよね。
過去に同じ質問が出ていますので、そちらもご参照ください。（下記参考ＵＲＬ）

参考URL：

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=13727

お礼

うん、同じこと考えている人がいるんだなあとわかりました。
ありがとうございました。

回答No.5

nuts

他の方の解答にあるようにお子さんの年齢にもよると思いますが、いちおう負数の概念そのものはわかっているものとして話を進めます。
まず、被乗数（掛けられる数）と乗数（掛ける数）の区別をあらためて確認してください。「にさんがろく」と「さんにがろく」は同じとか長方形の面積は縦でも横でも同じとか、そういうことはいったん忘れてもらいます。
マイナス×プラス＝マイナスになるのは、被乗数のマイナスが乗数のプラスによって、いわば強調されるからです。
プラス×マイナス＝マイナスになるのは、乗数のマイナスによって被乗数の意味が逆転するからです。
このように考えればマイナス×マイナスは、被乗数のマイナスを乗数のマイナスによって逆転するからプラスになるのだ、ということは理解しやすいのではないかと思いますが、どうでしょう。

お礼

やっぱりマイナスって意味なんですね。
リンゴで考えるからいけないんだなあ。
ありがとうございます。

回答No.4

osapi124

お子さんはおいくつですか？
実はすごく鋭いところに着目しているのかもしれませんね。
「マイナス×マイナス」の概念を理解するためには、元々の
「マイナスって何？」とか「ゼロの概念」を理解することが
必要だと思います。

リンゴが一個あって、そこからリンゴを１個引くと、
「リンゴがゼロ個」ってなりますが、何もないトコでリンゴも
みかんもないだろ！！って思いますよね。

ましてや１個から２個引いたらマイナス１個、なんて、現実の
世界ではありえないでしょう。

いまリンゴをマイナス１個持ってます。って人がいて、その人に
リンゴを２個渡しても手を開いたら１個しかなかったら驚きます。
カッパ―フィールドじゃないんだから。

現在の高等数学はインドでのゼロの発見から始まったと言われて
いますから、お子さんに教えるのではなく、
「お父さん（お母さん）もわからないんだよ。どうしてだか教えて」
って誘導すると将来数学者になるかもしれませんよ。
勉強って、興味を持たせることであって、無理やり納得させるもの
ではないでしょうし、子供と感覚を共有してあげる方がいいんじゃ
ないかな～と思っています。

質問にあってない回答ですいません。

ｏｓａｐｉ１２４でした。

お礼

そうなんですよね。
リンゴ２個渡したら、１個になってたっていうのは好きだな。
借金がマイナスなんだから、って教えたら、マイナス２回借金すればプラスになるんですから。
それは、返済だっていうのとちょっと違いますよね。
子どもと感覚を共有しすぎているのかもしれません。

回答No.3

stomachman

stomachman追加です。「かけ算は面積だろ、だから...」の後を思い出した。
括弧をはずす、というのは、長方形の図形を書いて説明すると簡単です。
＋－－－＋
｜　Ａ　｜
＋－－－＋
｜　Ｂ　｜
｜　　　｜
＋－－－＋
これは横が2,縦が3の積もりですけど、　2 ×(1+2) = 2×1+2×2 (= A+B)とも、2×(3-1)=2×3-2×1 = 2×2とも読めますよね。これでマイナス×プラスは分かって貰えるだろう。
＋－－－＋－－－－－＋
｜　Ａ　｜　　Ｃ　　｜
＋－－－＋－－－－－＋
｜　Ｂ　｜　　Ｄ　　｜
｜　　　｜　　　　　｜
＋－－－＋－－－－－＋
こんどは横が5、縦が３の積もりでして、
(2+3)×(1+2) = ...の展開にも使えますし、
Ｄ=(5-2)×(3-1) = ...の展開にも使えます。
後者は
Ｄ=(5-2)×(3-1) = 5×3 -2×3 -5×1 + (-2)×(-1)ですが、これは図形上ではD=(A+B+C+D)-(A+B)-(A+C)+(A)
つまりAを２回引いちゃったから、１回戻しておく、ということです。この戻しておく、というところがマイナス×マイナスの項に対応してます。

お礼

面積で表すということで考えていて、また疑問なのですが。
数直線で考えると、Ｘ軸とＹ軸があるとして、プラス×プラスの面積は、第一象限にできますね。
マイナス×マイナスだと第三象限にできます。
これは、同じ面積でも質が違うンじゃないでしょうか。
それどころか、プラス×マイナスでも面積はでき上がってしまいますね。
お答えいただいた主旨とは、ちがうと思いますが、いよいよ分らなくなってきました。

回答No.2

stomachman

感覚的、という方針が普通でしょうから、へそ曲がりのstomachmanとしては正攻法を考えました。stomachmanがご幼少のみぎりに誰に訊いても満足な答が得られず、「これはとんでもなく難しいことなのかもしれない」と誤解した苦い経験があるからです。
●とにかくそうなる
●かけ算は面積だろ、だから....
●規則だ。
●え、そうなの？
が代表的でした。
さて、小学校高学年ぐらいを想定します。

引き算がいつでも出来るようにしたのが負の数ですねえ。
3-4 = -1
ってね。これは
(3-4) + 1 = (3+1)-4 =0
だから(3-4)= -1なら、
-1 + 1 = 0
でなくてはならないのが分かります。これは大丈夫ですよね。次に、括弧を外すということ
(a+b)c = ac+bc
をまず理解させて置いて、
0×2 = ((-1)+1)×2 = (-1)×2 + 2 = 0
だから、
(-1)×2=-2
であることが分かります。

同じように
0= ((-1)+1)×((-2)+2)=(-1)×(-2)+1×(-2)＋(-1)×2＋1×2
= (-1)×(-2) +(-2)+(-2)+2
= {(-1)×(-2)}+(-2)
だから、
{(-1)×(-2)} = 2
であると。

お礼

わかります。
わかりますが、じゃあ、マイナスを形にしてみせて、といわれたらみせられないなあ、と。
そんなこと考えてはいけないのかもしれませんが。
マイナスというのは、ひとつの思想なんでしょうか。
私の理解がたりないのかも。