広義積分の問題

質問

∫(0→∞) {x^(α-1)}/(1+x)dx
0<α<1で収束、α≧1で発散するはずなんですが、自分で計算すると0<α<1で0≦x≦1のとき発散してしまいました。
解き方がわかる方教えてください。

回答No.1

noname#26313 · ベストアンサー

複素平面上、
ε+iδ→R+iδ→R・exp(iθ_01)→R・exp(iθ_02)→R-iδ→ε-iδ→ε・exp(iθ_03)→R・exp(iθ_04)
の経路 C に沿っての {z^(α-1)}/(1+z) （0<α<1 とする） の積分を考える。
（ただし、θ_01=arctan(δ/R)、θ_02=arctan(-δ/R)、θ_03=arctan(-δ/ε)、θ_04=arctan(+δ/ε) とする）

この領域では、z^αは一価函数であり、
∫(|z|=ρ) {z^(α-1)}/(1+z)dz の積分を考えると、
z=ρ・exp(iθ) とおいたとき、
dz=iρ・exp(iθ)dθ=izdθ であるから、
i・∫(0→2π) (z^α)/(1+z)dθとなるので、
z→0、及び z→∞ のとき、(z^α)/(1+z)→0 である。
従って、
lim(ε→0)∫(|z|=ε) {z^(α-1)}/(1+z)dz=0 であり、また
lim(R→∞)∫(|z|=R) {z^(α-1)}/(1+z)dz=0 である。
これから、
lim(ε→0,R→∞)∫(C) {z^(α-1)}/(1+z)dz
=∫(0→∞ in C) {x^(α-1)}/(1+x)dx +∫(∞→0 in C) [{x・exp(2πi)}^(α-1)]/(1+x)dx
右辺第二項は、
∫(∞→0 in C) [{x・exp(2πi)}^(α-1)]/(1+x)dx
=-∫(0→∞ in C) exp(2πiα)・{x^(α-1)}/(1+x)dx であるから、
右辺={1-exp(2πiα)}・∫(0→∞ in C) {x^(α-1)}/(1+x)dx

{z^(α-1)}/(1+z) は、0<|z|<∞ の間に 一つの極 -1 を持ち、
この極における {x^(α-1)}/(1+x) の留数は、(-1)^(α-1) であるから
2πi・(-1)^(α-1)={1-exp(2πiα)}・∫(0→∞) {x^(α-1)}/(1+x)dx
故に、
∫(0→∞) {x^(α-1)}/(1+x)dx
=2πi・(-1)^(α-1)/{1-exp(2πi・α)}
=2πi・exp{iπ・(α-1)}/{1-exp(2πi・α)}
=-2πi・exp(iπα)/{1-exp(2πi・α)}
=-2πi/{exp(-iπα)-exp(iπα)}
=2πi/{i・sin(απ)}
=2π/sin(απ)

補足

丁寧に回答していただいてありがとうございます。
しかし、私にとってはとても難しい内容なのでできれば不等式などの簡単な方法で示していただきたいのですが・・。

回答No.2

noname#26313

「自分で計算すると0<α<1で0≦x≦1のとき発散してしまいました」
と書かれていますが、どのような方法で計算されましたか？
この問題の最もまともな方法は、上に示した留数を利用した複素解析による方法だと思うのですが・・・・

お礼

解決できました。ありがとうございました。

補足

お返事ありがとうございます。
計算と書いてしまいましたが、あまりたいそうなことはしていなくて、
不等式を作った上で、
∫(0→1) x^pdx＝1/(1-p) (0<p<1) , ∞ (p≧1)
を考えただけです。

私の書き方がまずかったですけど、積分の値を出したいのでなくて、収束・発散を判定したいのです。