広義積分について

質問

∫ｄｘ／ｘ＾4 ＋1において積分区間を0から∞として収束、発散を調べよ。

全くわかりません。つかみもわからない状態です。過去の質問に似たようなものもありましたが意味がわからないです。どなたか回答お願いします。

回答No.7

oshiete_goo · ベストアンサー

No.5での誤解の訂正
oshiete_goo記述の中で，No.3 kusakabe66さんのご回答に対する一部誤解がありましたので，お詫びして訂正します．

kusakabe66さんの方針は，
「x->∞での処理について，積分区間1->∞について，-[1/(3x^3)]
で上から評価できる」というところまでは全く正しく，筆者の記述
＞積分区間を１～∞から０～∞にしてしまうと，-[1/(3x^3)] はx->0でのとき発散するので，置き換えないほうが正しいです．
（No.5引用）
の中の”０～∞にしてしまうと”は誤解で，積分区間をさらに変えたわけではなくて，kusakabe66さんのタイプミスで
＞x=0とx=∞を入れると -(0-1)＝1　収束
となってしまったようで，
x=1とx=∞を入れると -(0-1/3)＝1/3　収束
が意図だったんですね．失礼しました．
これにあと０～１の議論を加えることになります．

回答No.6

oshiete_goo

念のためさらに補足

判断基準としてよく使われるのは，
x->０のとき，1/x (と同じか, )より速く∞に発散すれば（x^s でs≦-1），積分も発散．そうでないとき積分は収束．
x->∞のとき，1/x よりも速く0に収束すれば（x^s でs＜-1)，積分も収束，そうでなければ積分は発散（s≧-1）．

ちなみに，ちょうど1/xの時は，x->０もx->∞も，有名なlog発散(対数発散)でしたね．

回答No.5

oshiete_goo

No.3,4の補足的アドバイス

この手の問題のポイントは
１）下端x->0に伴う収束・発散をどう処理するか．
２）上端x->∞に伴う収束・発散をどう処理するか．
でしょう．収束するときは上から収束する積分で評価し，発散するときは下から発散する積分で評価して示すという方針になります．

模範解答はnubouさんが示されたとおりです．典型的な問題なので，解答の趣旨を十分理解されることをおすすめします。

ただ，解答にいたるまでが多分問題なのでしょうから，多少説明を加えますと，下調べ[１)，２)での収束・発散の見極め]が大事で，先に結論（見極め）があって，次にそれを示す具体的評価を考えるという順序です．

アイデアとしては，２）の処理の前半はkusakabe66さんのご説明どおりのような評価になるでしょう．このセンスが大事です．
ただし，積分区間を１～∞から０～∞にしてしまうと，-[1/(3x^3)] はx->0でのとき発散するので，置き換えないほうが正しいです．また，１）での処理は別途必要です．

そこでNo.4のように，x=1で分割して，それぞれを評価．．．となるわけです．繰り返しになりますが，典型例なので，このような例をいくつか勉強されると感じ（評価の方法等）は分かってくると思います．

お礼

たいへん丁寧な説明をありがとうございます。いまからゆっくりもう一度考え直してみます。

回答No.4

nubou

∫（０≦ｘ＜∞）ｄｘ・｜１／（ｘ＾４＋１）｜＜
∫（０≦ｘ≦１）ｄｘ・１／（０＋１）＋∫（１＜ｘ＜∞）ｄｘ・１／（ｘ＾４＋０）＝
１＋∫（１＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｘ＾（－４）＝４／３＜∞
よって積分は絶対収束する

お礼

区間内で1も考慮しないといけないんですね。
ありがとうございます。
いまからもう一度考えてみます。

回答No.3

noname#191689

大雑把に考えてみました

分母はx^4+1ですよね。

まず
x^4＜x^4+1
逆数にして
x^(-4)＞(x^4+1)^(-1)
これはx→0でも成り立つから常に成り立つ。
ここで1/x^4の０から∞での積分は、ｘ＝０で発散するので積分区間を１から∞とすると積分結果は
-[1/(3x^3)]
x=0とx=∞を入れると
-(0-1)＝1　収束

∫x^(-4)dx＞∫(x^4+1)^(-1)dx
なので
∫(x^4+1)^(-1)dxも収束

……いくらなんでも雑に考えすぎてますかね(^^;

お礼

ご回答ありがとうございます。
逆数をとって考えるんですね。やってみます。

回答No.2

noname#191689

積分区間を０からｎまでとして積分したあとに、ｎを無限大に飛ばしたら計算できませんか？
もし学部1年のころの微積ならば、これでもよさそうですけど。

お礼

収束、発散を調べるには1/1+ｘ＾4の積分ができないとわからにですよね？？
このへんの仕組みがよくわかっていないためどうしたらよいものか・・・。
ｎまでで出しても値がわからないので収束した場合の値を出せない気がするのですが。。。

回答No.1

may-may-jp

収束・発散を調べるには3種類くらいの公式があって・・・
どれかが成立すると収束だとか発散だとか分かるんだったような・・・
教科書に載ってませんか？

お礼

簡単な問題は（教科書の例題など）公式にあてはめてできるんですが、このような応用問題となると解けないんです。（涙）
ずっと考えてるんですが・・・。