素数

質問

aを3より大きい素数とする。
(a＾2)を２４で割った余りはいくつかという問題で

5＾2=24+1
7＾2=24*2+1
11＾2=24*5+1
から求める余りは１になりました

<aを6で割った余りは1か5である
よって，a=6m+1，または，6m+5と表せるについて考えようと思うのですが。

どうしてaを6で割るのですか？
そして、その時の余りが1か5と分かるのですか？
他に簡単に求められる方法がありましたら教えてください。

回答No.3

Ichitsubo · ベストアンサー

>3m^2+mは偶数だと、どうしてa^2＝24k+1 (kは整数)と言えるのが分かりません。
3m^2+mは偶数ですから2kとかけますよね。
a=6m+1と置いた場合、
　a^2＝12(3m^2+m)+1
より
　a^2＝12*2k+1＝24k+1
です。

補足

ありがとうございました。

回答No.2

Ichitsubo

suika_11さんの解答方法はマルがもらえません。
なぜなら、5、7、11についてのみ答えただけであって、そのほかの素数>3(13や17、97など)については全く述べられていません。

aは3より大きい"素数"である、と言う前提を考えてください。
　aは3より大きい"素数"である⇒aは2や3の倍数ではない数
です。ここでさらに
　aは2でも3でも割り切れない⇒aは6の倍数ではない数
と言うことも分かります。
以上のことから、mを整数とするとき
　a=6m+1または6m+5
と表せます。6m+2、6m+4であれば2で割り切れるし、6m+3であれば3で割り切れるのであり得ません。
　a=6m+1のとき
　a^2＝36m^2+12m+1
　　　＝12(3m^2+m)+1
です。ここで3m^2+mは偶数なので
　a^2＝24k+1 (kは整数)
と書けます。
　a=6m+5のとき
　a^2＝36m^2+60m+25
　　　＝12(3m^2+5m)+24+1
です。ここで3m^2+5mは偶数なので
　a^2＝24n+1 (nは整数)
と書けます。
以上より、3より大きい素数aについてa^2を24で割った余りが1である証明ができました。

補足

解説ありがとうございます。
とても参考になりました。
お聞きしたいことがあるのですが、
3m^2+mは偶数だと、どうしてa^2＝24k+1 (kは整数)と言えるのが分かりません。

回答No.1

Tacosan

最終的に「24 で割った余りを求める」ということからすると,
１．a を 24 で割った余りを考える: 考え方としては最も素直.
２．a を 12 で割った余りを考える: 12^2 = 144, 12×2 = 24 がいずれも 24 の倍数であることから.
３．a を 6 で割った余りを考える: 6^2 = 36, 6×2 = 12 がどちらも 24 の倍数でないことを考えると, ちょっとトリッキーかも.
くらいかなぁ? 「a を 6 で割る」のは, 余りの種類が最も少ないからだと思うけど.... もちろん「3 より大きい素数を 6 で割った余り」は 1 か 5 のどちらかに決まってます. それ以外 (0, 2, 3, 4) だと 2 か 3 の少なくとも一方で割り切れてしまいますから.