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素数
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>3m^2+mは偶数だと、どうしてa^2＝24k+1 (kは整数)と言えるのが分かりません。 3m^2+mは偶数ですから2kとかけますよね。 a=6m+1と置いた場合、 a^2＝12(3m^2+m)+1 より a^2＝12*2k+1＝24k+1 です。
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- Ichitsubo
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suika_11さんの解答方法はマルがもらえません。 なぜなら、5、7、11についてのみ答えただけであって、そのほかの素数>3(13や17、97など)については全く述べられていません。 aは3より大きい"素数"である、と言う前提を考えてください。 aは3より大きい"素数"である⇒aは2や3の倍数ではない数 です。ここでさらに aは2でも3でも割り切れない⇒aは6の倍数ではない数 と言うことも分かります。 以上のことから、mを整数とするとき a=6m+1または6m+5 と表せます。6m+2、6m+4であれば2で割り切れるし、6m+3であれば3で割り切れるのであり得ません。 a=6m+1のとき a^2＝36m^2+12m+1 ＝12(3m^2+m)+1 です。ここで3m^2+mは偶数なので a^2＝24k+1 (kは整数) と書けます。 a=6m+5のとき a^2＝36m^2+60m+25 ＝12(3m^2+5m)+24+1 です。ここで3m^2+5mは偶数なので a^2＝24n+1 (nは整数) と書けます。 以上より、3より大きい素数aについてa^2を24で割った余りが1である証明ができました。
補足
解説ありがとうございます。 とても参考になりました。 お聞きしたいことがあるのですが、 3m^2+mは偶数だと、どうしてa^2＝24k+1 (kは整数)と言えるのが分かりません。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
最終的に「24 で割った余りを求める」ということからすると, １．a を 24 で割った余りを考える: 考え方としては最も素直. ２．a を 12 で割った余りを考える: 12^2 = 144, 12×2 = 24 がいずれも 24 の倍数であることから. ３．a を 6 で割った余りを考える: 6^2 = 36, 6×2 = 12 がどちらも 24 の倍数でないことを考えると, ちょっとトリッキーかも. くらいかなぁ? 「a を 6 で割る」のは, 余りの種類が最も少ないからだと思うけど.... もちろん「3 より大きい素数を 6 で割った余り」は 1 か 5 のどちらかに決まってます. それ以外 (0, 2, 3, 4) だと 2 か 3 の少なくとも一方で割り切れてしまいますから.
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