無理関数の最大値

質問

X>0のとき、{(√1+X^2+X^4)-(√1+X^4)}/X　の最大値を求めよ。
実際にXに数値を代入して、答えはX=1のときと類推したのですが、解き方がわかりません。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

方針だけ示しておきます。

x＞0のとき、k＝{√(x＾4＋x＾2＋1)}/x-{√(x＾4＋1)}/x＝√(x＾2＋1/x＾2＋1)-√(x＾2＋1/x＾2)。
ここで、x＋1/x＝t (相加平均・相乗平均よりt≧2)と置くと、k＝√(t＾2-1)-√(t＾2-2)＝1/{√(t＾2-1)＋√(t＾2-2)}。
分母は単調増加だから。。。。。。続きは、自分でやってください。

お礼

ありがとうございます。よく考えてみます。

回答No.3

ccyuki

丁寧に書こうとしたんですけれど大変なことになってしまったので略解です。
y={√(1+x^2+x^4)-√(1+X^4)}/x
={(1+x^2+x^4)-(1+X^4)}/x{√(1+x^2+x^4)+√(1+X^4)}
=x/{√(1+x^2+x^4)+√(1+X^4)}
分数関数の微分をして　その分子は
g'={√(1+x^2+x^4)+√(1+X^4)}-x[1/2(2x+4x^3)/√(1+x^2+x^4)+1/2(4x^3/√(1+X^4)}
さらに　√(1+x^2+x^4)√(1+X^4)　をかけたときの分子は
h'=√(1+x^2+x^4)√(1+X^4){√(1+x^2+x^4)+√(1+X^4)}-x{√(1+X^4)・(x+2x^3)-√(1+x^2+x^4)・2x^3}
=√(1+X^4)・(1+x^2+x^4)+√(1+x^2+x^4)・(1+X^4)-√(1+X^4)・(x^2+2x^4)-√(1+x^2+x^4)・2x^4
=√(1+X^4)・(1-x^4)+√(1+x^2+x^4)・(1-x^4)
={√(1+x^2+x^4)+√(1+X^4)}・(1-x^4)
={√(1+x^2+x^4)+√(1+X^4)}(1+x^2)(1+x)(1-x)

y'=0 とすると　x>0 だから　x=1
あとは増減表が簡単にかけます。

計算が少し面倒ですけれど微分して増減表を作りグラフを考えるという方針はわかりやすいと思います。

お礼

ありがとうございました。よく考えてみます。

回答No.1

-ROM

> {(√1+X^2+X^4)-(√1+X^4)}/X

対象の式は:

{√(1 + X^2 + X^4) - √(1 + X^4)} / X

ではありませんか。

補足

その通りでした。
解りづらくてすみません。