- 締切済み
微分の問題
rynの回答
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
> (1-x^2)(y)''-x(y)'-y=0 > となりましたが、果たして正解なのでしょうか？ あってます． あとは両辺を何度か微分してみると規則性が見えてくると思います．
関連するQ&A
- 微分の問題を教えてください。
微分の問題を教えてください。 次の微分の問題を教えてください。 (1) 1/sin^3(x)を微分せよ。 これは３倍角の公式を用いて、 sin^3(x)={3sin(x)-sin(3x)}/4と変形し、 与式に代入して商の微分をしたのですが、 答えが、{3cos(x)-3cos(3x)}/4sin^6(x)となってしまい、 正解とだいぶ違っていました。 どこが違うのでしょうか。計算ミスではないと思うのですが・・・。 (2) sin^n(x)cos(nx)を微分せよ。 nという文字を使われるとよくわかりません・・・。 ヒントでいいのでどなたか教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の微分 ライプニッツの定理の利用でとけるはずなのですが…。
===================================================== 【問題】 y=f(x)=sin(α arcsin x) f^(n) (0)を求めよ。 ↑ f(0)をn回微分したもの ======================================================== 行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。 =========================================================== 【自分の回答】 y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2) ∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1 両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、 y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0 ⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0 **************************************************** ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、 f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。 **************************************************** ===========================================================
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数微分の問題です
===================================================== 【問題】 (１) x=a(t-sin t) y=a(1-cos t) (a>0) (0 <= t <= 2π) dy/dxを求めよ。 (２) y=f(x)=sin(α arcsin x) f^(n) (0)を求めよ。 ↑ f(0)をn回微分したもの ======================================================== という問題で、(１)はなんとか解けたと思うのですが、(２)が行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。 =========================================================== 【自分の回答】 (1) dx/dt=a(1-cos t),dy/dt=a*sin t ∴dy/dx=(a*sin t)/{a(1-cos t)}=(sin t) /(1-cos t) (2) y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2) ∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1 両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、 y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0 ⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0 **************************************************** ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、 f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。 **************************************************** ===========================================================
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式についてわからないことが・・・
今 y'=-1/xy の微分方程式をときました。 ∫y dy=∫-x dx 1/2×ｙ＾２＝－log|x|+C =-log{Cx{ e^(1/2×y^2)=-|Cx| =Cx これを微分方程式の解とします。 これを微分して与式になることを確認したいのですが 答えの両辺をｘで微分して ye^(1/2×y^2)×y'=C 両辺にｘかけて xyy'e(1/2×y^2)＝Cx ＝e^(1/2×y^2) よってy'=1/xy となり－がでてきません。 計算途中でC=±Cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して－をつけてもいいのでしょうか？ どのように解答をかいていけばいいのでしょうか？ わかるかたお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分（たびたびすみません）
先日y = e^(1/x)のy'=について回答をいただいたのですが 参考書等を参考にして考えてみたのですが 基本的な問題だと思うのですが、まだ理解できず、すみませんがどなたかもう少し教えてください。 先日いただいた回答です（勝手に引用してすみません） y = e^(1/x) ⇔log(y) = 1/x 両辺をxで微分すると y'/y = -1/(x^2) y' = -1/(x^2) * y ・・・(1) これでy'が求まります... ・上記のlog(y) = 1/xはlog(x)' = 1/x 対数微分の微分から置き換える事ができるのですか？ だとすれば１度微分していることになるのですか？ ・上記の両辺をxで微分で微分するとy'/yになるのはなぜですか？ 大変すみません煮詰まってしまっています よろしくお願い致します
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式に関する問題です。
(x^2){(d^2)y/d(x^2)} - x(dy/dx) + y = x^3 (*) ********************************************************* (1)y = xφ(x)が微分方程式(*)の解であるとき、φのみたす微分方程式を求めよ。 ********************************************************* y = xφ(x)からy' , y''を計算して代入し、 φ''(x) = x/2 となりました。（答えの書き方はこれでいいのか分かりません。） ********************************************************* (2)φ'(x)を求めよ。 ********************************************************* (1)の答えの両辺を積分して φ'(x) = (x^2)/4 + C となりました。 ********************************************************* (3)微分方程式(*)の一般解を求めよ。 ********************************************************* （３）のとき方が分かりません。 どのようにして解いていけばいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分を絡めた数学的帰納法の問題
y=x^nのn次関数を求めよ。 という問題で、数学的帰納法を使い、n=1のときは理解できましたが、k+1のときの証明が理解できません。この問題の途中に出てきた式で y^(k+1)微分=d^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^k という式を理解できません。yをk+1回微分したものなのになんでこうなるのでしょうか。これではk+2回微分した式になっている気がしてしまいます。 どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数