合成関数の微分

質問

下の問題がよく分かりません；

関係式ｆ(x、y)＝c(c：定数)にy＝y(x)を代入すればf(x、y(x))＝cというxの式になる。dy／dxを求めよ。

両辺をxで微分して計算をしようと思ったのですが、その後どうしていいのか分からなくなりました。
どなたかアドバイスをよろしくお願いします。

回答No.2

mmky

＃１さんで回答ありますので、参考までということで、
意外とこれ悩むんですよね。
f=ｆ(x、y)=C
y＝y(x)
dy／dxを求めよ。
差分の式ですね。
Δｆ＝ｆxΔｘ+ｆyΔｙ (fx, ｘ方向の傾き、fy, y方向の傾き）
0=ｆxΔｘ+ｆyΔｙ →　0=fx+fy(Δｙ/Δｘ)
(Δｙ/Δｘ)→(dy/dx)=-(fx/fy)＝-(df/dx)/(df/dy)

y=f(x) の場合、
差分Δy=y'Δx →　dy=(dy/dx)dx これだけみると何だろうかと思うよね。
でも差分という理解の上で正しいということですね。

参考になれば

お礼

ありがとうございます。
とても参考になりました＾＾

回答No.1

milkysugar

全微分の定義から，df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy です．
今fは定数なのでdf = 0で，またyはxのみの関数だからdy = (dy/dx) dxとなります．

これでよいでしょうか？確か陰関数の微分という話だと思います．
具体例としてf(x,y)= x^2 - y^2 とか，x^2 - xy + y^2 とかで計算してみるとよいと思います．（cは適当に設定します）

お礼

早速の回答ありがとうございます。
全微分の定義から一行目が出るのは分かるのですが、
二行目の「yはxのみの関数だからdy = (dy/dx) dx」の意味が分かりません。
もし良かったら、補足をよろしくお願いします。