1/（２＋cos2x）の積分

質問

∫（０からπ/4）　１/｛（sinx)^2＋3（cosx)^2｝ｄｘ
この計算ができなくて困っています。
変形していって1/（２＋cos2x）となったのですがこの後どのようにすればいいのでしょうか？
それともこの変形は不要でしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.3

adinat · ベストアンサー

これは結構難しい積分の問題なので、こういうときは少し特殊な置換積分を使ってみましょう。なかなか役に立ちます。

t=tan x

と置換するのです。なんでこんなのでうまくいくのかは、それこそ本当に難しい問題ですが、とにかくそう置換してみましょう。
cos 2x=(cos x)^2-(sin x)^2=2(cos x)^2-1
ですが、(cos x)^2=1/{1+(tan x)^2}という公式を思い出してやると、
cos 2x=2/{1+(tan x)^2} -1
となります。tan x=tなのだから、
cos 2x=2/(1+t^2)-1=(1-t^2)/(1+t^2)
と置き換えればよいことになります。また、
dt=dx/(cos x)^2=(1+t^2)dx
なので、
dx=dt/(1+t^2)
と置き換えればよいことになります。よって置換積分すれば、
∫（0から1）dt/(3+t^2)
となります。この積分は基本的な問題です。t=√3(tan θ)と置換すればよいです。

実は、この解法は多少回りくどいことをやっていて、もっとエレガントな解法もありますが、そういう解法を覚えるよりは、このような普遍的な方法を取る方が見通しがよいというものです。どういうことかというと、三角関数の積分の問題で、どうしてもうまい変形が思いつかない場合、t=tan(x/2)と置換するのです。そうすると必ずtの分数積分の形に変形することが出来ます。また、もしこの問題のように、披積分関数が、sin(2x)とcos(2x)しか含んでいない場合は、t=tan(x)と置換して、もう少しだけ簡単に置換積分することが出来ます。

お礼

とても役に立ちました。
他の問題にも応用できそうな解法を示していただきありがとうございました

回答No.2

himitsukun

今鉛筆ないから分からないけど、
高校生向け（数三）の問題だったら、
(1)cos,sin に統一する
(2)cos2x=t と置き換える。（範囲も置換）
すれば出来そうかな？

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

大学生でしょうか？？そうであるならば、複素積分でも使えばたぶんできると思いますよ。